【γ15】ディガンマ関数の積分表示３選

ディガンマ関数はガンマ関数の対数微分である。前回示したオイラー定数の積分表示を用いて積分表示する。やはり巧妙な技がいるものの、初等的であり高校数学でも理解できる。

まず右辺第1項についてはロピタルの定理により$$\displaystyle\lim_ \frac>>=\displaystyle\lim_ \frac>>=z$$よって $\dfrac>>$ は $0\le t\le1$ で有界です。よって定数 $M$ が存在して$$\therefore\;\left|\int_0^1\frac>>e^dt\right|\le\left|\int_0^1Me^dt\right|\xrightarrow[]0$$とできます。

積分表示②

(3)の被積分関数は２つの項からなりますが、これを分けて別々に積分すると $t=0$ のせいで発散してしまいます。そこで積分区間の下端を小さな正の数 $\epsilon$ としておきます。その上で積分を分けて後者のみ $t=\log(1+s)$ とおくと$$\psi(z)=\int_\epsilon^\infty\frac>dt-\int_^\infty\frac$$右辺の１つめの積分区間を分けます。$$\int_\epsilon^\infty\frac>dt=\int_\epsilon^\frac>dt+\int^\infty_\frac>dt$$２つめの積分の $s$ を $t$ と書き換えます。$$\psi(z)=\int_\epsilon^\frac>dt+\int_^\infty\left(\frac>-\frac\right)dt$$右辺第1項は$$\int_\epsilon^\frac>dt\le \int_\epsilon^\frac=\log\frac\xrightarrow[]0$$

従って $\epsilon\to0$ とすることで次の公式を得ます。

積分表示③

(3)で $e^=s$ と置換すると$$\psi(z)=\int_1^0\left(\frac-\frac\right)\left(-\frac\right)$$式を整理して $s$ を $t$ に書き換えると新たな積分表示を得ます。

おまけ：オイラー定数の積分表示

前回の記事でオイラー定数の積分表示を紹介しました。本記事ではディガンマ関数を扱ったので $\psi(1)=-\g$ によってオイラー定数 $\g$ の新たな積分表示を得ることが可能です。例えば(4)で $z=1$ とすると

おわりに

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