微分とは何か？ － 中学生でも分かる微分のイメージ

微分は科学分野において非常に大事な概念です。このページでは、中学生でもイメージを持ってもらえるように、微分について分かりやすく説明しています。学校では、高校2年の数学で学習します。

y=x 2 において x=1.00 から、x=1.01 まで増加するときの変化の割合を計算します。 \begin \text &= \frac>> \\[6pt] &= \frac \\[6pt] &= \frac \\[6pt] &= 2.01 \end となります。つまり、y=x 2 上の x=1.00 の点と x=1.01 の点の2点を通る直線の傾きは、2.01 だということになります。先ほどの 2.1 という結果よりも、2 に近づきましたね。

このように、x=1 における傾きを求めるには、y=x 2 上の x=1 の点の他に、もう1点別の点を取り、この2点間の変化の割合を求めるという方法を使います。

今は、2点間の距離（これを h としましょう）が、h = 1.1 - 1.0 = 0.1 のときと、h = 1.01 - 1.00 = 0.01 のときの2種類を実際に代入してみました。この h を小さくすると、予想していた値 2 により近づきましたね。では、もっともっと2点間の距離 h を小さくしたら、どのようになるでしょうか。予想通り、2 といえるのでしょうか。文字式を使って計算してみましょう。

これまでと同様の手順で、x=1 の点と、そこから x の距離が h 離れた x=1+h の点、この2点間の変化の割合を求めましょう。

という関係式が得られました。この式を使うと、先ほど求めた、x=1 と x=1.1 のときの変化の割合は、h = 1.1 - 1 = 0.1 より、2 + h = 2.1 と、簡単に求めることが出来ます。x=1 と x=1.01 の2点間での変化の割合も同様にして、求められます。

さて、では2点間の距離 h を限りなく 0 に近づけていったとき、その変化の割合はどうなるでしょうか？それは、先ほどの 2 + h にて h を 0 にしたときの値、つまり 2 ですね。したがって、y=x 2 の x=1 における傾きは、2 であることが証明できました。

y=x 2 の微分

上では、関数 y=x 2 の x=1 の点での傾きを計算で求め、証明しました。今度は、x=1 以外のすべての点における傾きを、計算によって求めてみましょう。先に、グラフを「見て」予想した結果からは、 y=x 2 上の各 x の点における傾きは、2x となるはずです。

x=1 の点における傾きを計算で求めたように、今度は一般の x の点における傾きを求めます。この点から h だけ離れた点との、2点間における変化の割合は、

となります。x=1 を代入すると、先ほどの 2+h という式と同じになりますね。

2点間の x 座標の距離 h を限りなく 0 にすると、この式は 2x となります。したがって、関数 y=x 2 の各 x に対して、その点における傾きは 2x となります。これで、このページの最初に、グラフを拡大して予想した結果と、計算結果が一致したことを確認できました。

すなわち、関数 y=x 2 を微分した値は、2x ということを証明できました。

微分を表現する記号

まず、関数 $ y=x^2 $ を微分して得られた導関数を $y'=2x$ と書きます。ここで、$y'$ は「yダッシュ」や「yプライム」と読みます。このプライム記号が、微分した導関数であることを示します。また、別の書き方では、 \[ \frac = \fracx^2 = 2x \] のようにも書きます。関数の前に、\[ \frac \]という記号を付けることで、その関数を x で微分するということを示します。

$d$ というのは何か…というと、差分を表す Δ（デルタ、delta）の d ではないかと思います。もしくは、微分の英語読み differential の d かもしれません。

また、y=x 2 を微分する過程で、x の変化量 h を限りなく 0 に近づけるという表現をしました。これは、極限の記号 $\lim$ の下に $h \to 0$ と書くことで表します。つまり、次のように書き表します。

• トップページ
• プライバシーポリシー
• 免責事項