行列式とは？誰でも理解できるようにわかりやすく解説

行列式とは？誰でも理解できるようにわかりやすく解説 \[\begin \mathrmA = \left| \begin a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end \right| & = & a \cdot \left| \begin e & f \\ h & i \end \right| -b \cdot \left| \begin d & f

\[\begin\mathrmA=\left| \begin a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end \right| & = &a \cdot \left| \begin e & f \\ h & i \end \right|-b \cdot \left| \begin d & f \\ g & i \end \right|+c \cdot \left| \begin d & e \\ g & h \end \right| \\&=&a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)\end\]

\[\begin\mathrmA=\left| \begin 3 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end \right| & = &3 \cdot \left| \begin 2 & 1 \\ 2 & 2 \end \right|-2 \cdot \left| \begin 1 & 1 \\ 2 & 2 \end \right|+1 \cdot \left| \begin 1 & 2 \\ 2 & 2 \end \right| \\&=&3(2\cdot 2 -1 \cdot 2)-2(1 \cdot 2 -1 \cdot 2)+1(1 \cdot 2 -2 \cdot 2)\\&=&3(2)-2(0)+1(-2)\\&=&4\end\]

これは空間の体積が \(4\) 倍になることを示しています。

まず、この行列式の \(a\) は基底ベクトル \(\hat\) が \(x\) 軸方向に何倍になるかを示しています。そして \(d\) は基底ベクトル \(\hat\) が \(y\) 軸方向に何倍になるかを示しています。そして、\(b\) と \(c\) はざっくりと言うと、平行四辺形が対角線軸方向にどれだけ拡大・縮小するかを示しています。

問題：以下の行列の行列式を求めよ。

解答

解説

問題：以下の行列の行列式を求めよ。

解答

解説

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解答

解説

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解答

解説

問題：以下の行列の行列式を求めよ。

解答

解説

問題：以下の行列の行列式を求めよ。

解答

解説

3. 行列式の性質

ある行列 \(A\) の行列式の値と、その転置行列 \(A^\) の行列式の値は同じになります。

二次行列 \(A\) があるとき、\(|A|\) と \(|A^T|\) の値は同じになることがわかります。

以下のように、三次行列でもやはり、\(|A|\) と \(|A^T|\) は同じになることがわかります。\(A\) は第一行について展開しており、\(|A^T|\) は第一列について展開しています（行列式の展開方法については「余因子による行列式の展開とは？~アニメーションですぐわかる解説~」をご確認ください）。

行列 \(A\) と \(B\) の積の行列式の値 \(\mathrm(AB)\)と、行列式 \(\mathrmA\) と \(\mathrmB\) の積 \(\mathrmA\mathrmB\) は同じになります。

まず、行列の積 \(AB\) は次の通りです。

この \(AB\) の行列式は次の通りです。

次に、\(|A|\) と \(|B|\) はそれぞれ次の通りです。

まずは、行列の積 \(AB\) を求めます。

次に、行列式 \(|A|\) と \(|B|\) はそれぞれ次の通りです。

\[\begin\left| \begin a_1 + a_2 & b_1+b_2 \\ c & d \end \right|=\left| \begin a_1 & b_1 \\ c & d \end \right|+\left| \begin a_2 & b_2 \\ c & d \end \right|\end\]

• ある行（または列）と別の行（または列）を入れ替える
• ある行をスカラー倍する
• ある行をスカラー倍して別の行に加える

これも以下のアニメーションで直感的にイメージすることができるようになります。行または列を \(s\) 回入れ替えたものを \(A^s\) と表しています。

続いて三次行列式の場合です。\(A\) は第一行について展開したもの、\(A^1\) は第三行について展開してから \(-\)符号をつけて整理したもの、\(A^2\) は第二行について展開してから \(-\)符号を外して整理したものです（行列式の展開方法については「余因子による行列式の展開とは？~アニメーションですぐわかる解説~」をご確認ください）。

まずは以下のアニメーションをご確認ください。\(i\) 行目を \(s\) 倍したものを \(A_\) と表しています。

このように一行目を \(1.5\) 倍しているので、行列式の値も \(1.5\) 倍になっています。式で確認したい方は、以下のボックスをクリックしてください。

行列式の任意の行(または列)を \(s\) 倍して、別の行(または列)に加えても、行列式の値は変わりません。これは以下のアニメーションですぐに理解することができます。

4. まとめ

なお、当ページでは解説は控えましたが、\(3\times 3\) より大きな行列式を解いたり、さまざまな公式を求めるための「行列式の余因子展開」という重要なテクニックがあります。これについてご興味があれば『余因子による行列式の展開とは？~アニメーションですぐわかる解説~』で解説していますので、ぜひご確認ください。

次に読みたいページ行列式と関わりが深いものに「逆行列」というものがあります。逆行列を理解すれば、これまで学んできたさまざまな概念がどんどん一本につながっていきます。『逆行列とは何か？その求め方・条件・性質の徹底解説』で解説していますので、ぜひ読み進めてください。

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• 行列の積(掛け算)とは何か？わかりやすく解説
• 逆行列とは？誰でも理解できるようにわかりやすく解説

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コメント

すごく本質的なことが、しかも視覚的にわかるように書かれていて感動しました。 ほとんどの高校生はもちろん、大学生も線形代数の授業で、なぜ行列式が必要で、何を意味し、どのように使われるのかの説明が無いまま、計算をさせられることにうんざりして、線形代数に対する興味を失うと思います。 私の学生時代もそうでした。 今も、ほとんどそうだと思います。数学は計算公式の前に、その意味を伝えることが必要と思います。 先生のページを授業の時に使わせてもらっていいでしょうか。もちろん引用ルールに従います。

初めまして。アニメーション、拝見しました。 いやはや、素晴らし過ぎて・・・言葉を失いました。 教壇で数式を語る方はごまんと見てきましたが、これをここまで視覚的に再現することが出来るというのは、本当に本質を理解していない限り、まず不可能なはずです。 物凄く感動しました。ありがとうございました。

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