連立方程式の文章題 解き方のコツ
連立方程式の文章題の解き方、式の作り方のコツを中心に解説。連立方程式の速さの問題と食塩水の濃度の問題を中心に扱います。連立方程式の作り方のコツは何をx、yとして考えるのかにあります。連立方程式を作るコツがわかれば、濃度の違う食塩水を混ぜる連立方程式の問題も意外と簡単に解けたりします。ここでは何をx、yとするかについての考え方も解説し、連立方程式の文章題の解き方や連立方程式の作り方をパターンとして身につけていきます。
解説方程式を作るのに$x+y=1500$はすぐにわかると思います。 問題は時間 をどのように表すか？時間の直接の手がかりは「15分」としかありませんが、歩いた距離と走った距離をそれぞれ$x$、$y$としたことで文字を使ってその時間を表せます。そしてこの問題の最大のポイントがここ。もちろん道のり、速さ、時間の関係式を使います。方程式の文章題に慣れないうちは、分数が出てくると、まして文字を含む形になると、どこか間違ってるんじゃないかぁ？と不安になるものです。でも速さの問題ではたいてい分数の形になります。問題文に「距離（道のり）」「速さ」「時間」のうち1つでも出てきたら、道のり、速さ、時間の関係式を使うと思ってください。なお距離を求めるので、解が負の数になった時はどこか間違えていると思ってください。$-840$m走ったとなると大好きなよしこさんからどんどん遠ざかっていくことになり、ちょっとよしお君のことが心配になります。
基本例題3周囲が$3600$m の池がある。この池をよしお君は走って、よしこさんは徒歩でまわる。同じ地点を同時に出発し、互いに反対方向にまわると$12$分後に出会い、同じ方向にまわるとよしお君はよしこさんに$20$分後に追いつく。よしお君とよしこさんそれぞれの移動する速さは毎分何mか。
考え方求めるもの よしお君の速さ：$x$ よしこさんの速さ：$y$時間に関する手がかりは問題に書いてある。速さについて$x$と$y$を使うことで、文字を使った形で二人が進んだ距離を表すことができる。よって、①反対方向にまわるときと②同じ方向にまわるときに分けて、移動した距離の関係を考える。反対方向にまわるときは、二人が歩いた距離の和が池の周囲と同じになる。 同じ方向にまわるときは、どちらの速さが速いかに注意 する。本問では「よしお君はよしこさんに$20$分後に追いつく」とあるので、 よしお君の方が速い といえる。そして移動した時間は同じなので、 よしお君の方が池の周囲の分だけ長い距離を移動した といえる。このことより、距離に関する方程式を$2$本考えると式を作りやすい。
解答よしお君の走る速さを$x$、よしこさんの歩く速さを$y$とする。お互い反対方向にまわると$12$分後に出会うので、
← 二人の移動距離が同じになるように式を工夫する。 よしお君が$3600$m多く移動しているので、 よしこさんの移動距離に$3600$を足す 必要がある。
解説問題文は$3600$mを基準にして、「出会う」や「追いつく」など「移動に関すること」が中心に書かれています。そのため距離に関する方程式を立てていくと考えやすくなります。時間に関する方程式や速さに関する方程式を作ろうとすると収拾がつかなくなります。
連立方程式の文章問題 濃度の違う食塩水を混ぜる
基本例題4$7$％の食塩水と$12$％の食塩水を混ぜて、$8$％の食塩水を$1000$gつくる。食塩水をそれぞれ何g混ぜれば良いか。
考え方求めるもの $7$％の食塩水の量：$x$ $12$％の食塩水の量：$y$ 問題文に食塩水とあったら、食塩水の量、水の量、食塩の量がどれ位なのかを考える。
濃度の問題ではこれらのことを反射的に思い浮かべることが解法のコツ。本問では濃度はわかっている。食塩水の混ぜる量を文字$x$、$y$とした。これより 食塩の量を表していく。
●$7$％の食塩水について$x$gに含まれる食塩の量は$7=\dfrac\times100$ から $0.07x$g
●$12$％の食塩水について$y$gに含まれる食塩の量は$12=\dfrac\times100$ から $0.12y$g
解答$7$％の食塩水の混ぜる量を$x$g、$12$％の食塩水の混ぜる量を$y$gとする。これらを混ぜて$1000$gとするので、$x+y=1000$ ①
解説数量関係の等しいものを＝で結ぶために、食塩水の量と食塩の量に着目しました。
当然 混ぜる前と混ぜた後で量そのものが変わることはありません。 濃度の違う食塩水を混ぜる問題で難しく感じてしまうところがまさにここ。混ぜる前の食塩の量が$7$％と$12$％の食塩水にそれぞれどれだけあるのかを求め、その合計が混ぜた後の食塩の量と同じになります。もし混ぜた後で食塩水の量が減ったとなったら、こぼしてしまったか飲んでしまったかのどちらかです（というか、そんなことを考えていたら数学の問題にならない）。
①食塩水の量の関係を式にする↓②$7$％と$12$％の食塩水の食塩の量を求める↓③$8$％の食塩水の食塩の量を求める↓④食塩の量の関係を②と③から式にする↓⑤連立方程式にして解く
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