微分とは何か？わかりやすくイメージで解説

微分とは何か？わかりやすくイメージで解説 なお、この式では値の変化を \(\dfrac\) ではなく \(\dfrac\) という記号で表しています。通常、数学では値の変化は \(\Delta\)(デルタ)記号を使って \(\Delta x\) というように表しますが、微分学で扱うような限りなく０に近い値の変化は、\(d\) を使うように区別されているためです。単純に \(d\)

なお、この式では値の変化を \(\dfrac\) ではなく \(\dfrac\) という記号で表しています。通常、数学では値の変化は \(\Delta\)(デルタ)記号を使って \(\Delta x\) というように表しますが、微分学で扱うような限りなく０に近い値の変化は、\(d\) を使うように区別されているためです。単純に \(d\) 記号を見たら「限りなく０に近い変化」のことだと考えてください。そして、\(\dfrac\) は微分を示す記号です。

さて、このように時間の間隔が短くなると、変化率はある一つの値に近づいて言っているように見えます。それでは \(dx\) をさらに０に近づけていくとどうなるでしょうか。いちいち一つずつ計算するのも手間なので、以下のアニメーションで一気に確認してみましょう。\(dx\) をまずは \(1\) から \(0.1\) にして、次に \(0.1\) から \(0.001\) にしたものです。

このように時間の間隔 \(dx\)が０に近づくと、変化率の値は２５.００\( \mathrm\) に限りなく近づいていくことがわかります。この収束値こそが５秒の時点における点Ｐの「瞬間の変化率」です。つまり、これは点Ｐが５秒地点では２５.００\( \mathrm\)という瞬間速度を出しているということを意味します。

さて、全ての地点での微分（接線の傾き＝瞬間の変化率＝点Ｐの瞬間速度）をグラフにしてみましょう。すると、以下のアニメーションで示している緑の曲線になります。このように、ある関数 \(f(x)\) の各点での微分の値を描く曲線を「導関数\(f^(x)\)」と言います。

導関数を描いておくと、いちいち計算しなくても、任意の地点での点Ｐの瞬間の変化率（瞬間速度）が一目でわかるようになりますし、任意の \(x\) の値を代入するだけで計算できるようになるので、とても便利です。そのため、一般的に「微分をする」というと、この導関数を求めることを意味します。

コラム：どれだけ複雑な曲線も直線の集まりに過ぎない繰り返しお伝えしてきた通り、微分とは「ある現象のほんの小さな一部分（瞬間）を切り取って、その一部分（瞬間）を観察すること」です。

3. 微分の求め方

それでは、ここから微分の求め方を見ていきましょう。ここでは計算を簡単にするために、上で用いた点Ｐの動きよりも簡単な関数である \(f(x)=x^3\) を使って解説します。ちなみに点Ｐの動きはシグモイド関数という有名な関数を少しいじった \(f(x)=\dfrac>\) という式で表現しています。

まず \(\dfrac\) は微分のことです。そして、 \(\lim_\) は \(dx\) が限りなく０に近い値であるということを示しています。後はわかりますね。つまり \(dx\) だけ離れた２点の縦軸方向の変化 \(dy\) を \(dx\) で割るというものです。

例えば、\(x=2, dx=0.1\) だとしたら、次のようになります。

さて、それでは \(dx\) の値をさらに０に近づけていくと、微分の値はどうなるでしょうか。

微分の定義式における \(dx\) の値をさらに０に近づけていけば、\(x=2\) のときの微分を求めることができます。しかし、実際に０．００００００００１などといった値を代入してて計算するのは、非常に手間です。

そこで \(dx\) を記号のままにしておいて計算してみましょう。

この計算の最後の部分に注目して見ると、最初の \(3(2)^2\) 以外の部分は \(dx\) との掛け算になっていることがわかります。そして \(dx\) は限りなく０に近い値です。ということは、実質０と考えて構わないことになります。そのため掛け算に \(dx\) が混じっている部分の値は０になり、最終的に残るのは先頭の \(3(2)^2\) だけになるのです。

以上のことから \(x=2\) のときの \(3(2)^2=12\) になります。これが関数 \(f(x)=x^3\) のこの地点での瞬間の変化率（微分）です。

このようにすると、任意の \(x\) の微分を計算することができます。ただし、任意の \(x\) ごとにいちいち計算するのは面倒です。そこで、このように、いちいち異なる \(x\) に対して微分を求めるのではなく、ある関数の微分を求めるための導関数を求めるのが一般的です。

既に解説した通り、係数に \(dx\) が入っている部分は０と見なすことができるので、最終的に \(3(x)^2\) が導き出されます。つまり関数 \(f(x)=x^3\) の導関数は \(f^(x)=3(x)^2\) になります。以下の画像でそれぞれ描いています。

これに任意の \(x\) の値を当てはめれば、任意の地点の微分の値を得ることができます。例えば \(x=1\) のときは、微分の値は \(3(1)^2=3\) になりますし、\(x=3\) のときは \(3(3)^2=27\) になります。

ここでは \(f(x)=x^3\) の導関数を求めましたが、どのような関数でもこの方法で微分することができます。参考に以下のアニメーションでいくつかの関数と、その導関数を示しています。青が関数で緑が導関数です。

4. 微分とは何かのまとめ

• 微分とは瞬間の変化率であり接線の傾きである。
• 微分とは、ある事象の全体を細かいパーツに分解して、細部を正確に観察するという分析法である（別の言い方をすれば、どれだけ複雑な曲線でも、単純な直線の集まりであるとみなすことができる）。
• 微分は記号では \(\dfrac\) と表し、導関数は \(f^(x)\) と表す。
• 「微分をする」とは、導関数を求めることをいう。
• ある関数の導関数は、微分の定義式で求めることができる。

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コメント

すみません。数学素人です。 初歩的な質問で申し訳ないのですが、画像の縦軸がxなのはなぜでしょうか。 距離/時間なので、dy/dx なら、縦軸がyなのではないでしょうか。 もしよろしければ返信いただけるとありがたいです。 間違ってたらすみません。 そして、数学が苦手な自分でも、とてもわかりやすい記事でした！ありがとう！

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