正弦定理・余弦定理

正弦定理・余弦定理 Bを通る直径をBDとする。 直径の円周角は90°なので∠BCD=90° 円に内接する四角形の対角の和は180°なので∠BDC=180°−A a = 2R sin(180°−A) = 2R sinA よって a sinA = 2R [i][ii][iii] より a sinA = 2R 同様に b sinB = 2R, c sinC = 2R

Bを通る直径をBDとする。 直径の円周角は90°なので∠BCD=90° 円に内接する四角形の対角の和は180°なので∠BDC=180°−A a = 2R sin(180°−A) = 2R sinA よって a sinA = 2R [i][ii][iii] より a sinA = 2R 同様に b sinB = 2R, c sinC = 2R したがって a sinA = b sinB = c sinC = 2R

△ABCにおいて a 2 = b 2 +c 2 −2bc cosA b 2 = c 2 +a 2 −2ca cosB c 2 = a 2 +b 2 −2ab cosC

△ABCの頂点Cから辺ABにおろした垂線の足をHとする。 三平方の定理から a 2 =CH 2 +BH 2 ・・・① CH 2 =b 2 −AH 2 ・・・② ①に②を代入すると a 2 =b 2 −AH 2 +BH 2 ・・・①' また AH=b cosA・・・③BH=c−AH=c−b cosA・・・④ ③,④を①'に代入すると a 2 = b 2 −b 2 cos 2 A+(c−b cosA) 2 = b 2 −b 2 cos 2 A+c 2 −2bc cosA+b 2 cos 2 A = b 2 +c 2 −2bc cosA