指数関数の微分

指数関数の微分、公式の証明、関連する問題と解き方についてわかりやすく解説します。

\(\displaystyle\large = e>\) から \begin \large (a^x)' &\large =&\large a^x \log a \hspace\lim_\frac >\\[0.5em] &\large =&\large a^x \log a \hspace\frac\\[0.5em] &\large =&\large a^x \log a \\[0.5em] \end となります。

指数関数の底が\(\large\)である場合は、上記に示した指数関数\(\large\)の微分において\(\large\)とすればよいので \begin \large (e^x)' &\large =&\large e^x \log e \\[0.5em] &\large =&\large e^x \\[0.5em] \end となります。

\(\large\) の微分の式を対数微分法から導きます。 対数微分法を使用すると簡単に指数関数の微分を求めることができます。

まず、\(\large\)の両辺に対数をとると \begin \large \log y &\large =&\large \log a^x\\[0.5em] &\large =&\large x \log a\\[0.5em] \end 両辺を\(\large\)で微分すると \begin \large \frac$$ を使用して計算します。

積の微分公式から \begin \large y\hspace'&\large =&\large (x)\hspace'\hspacee^ + x \hspace(e^)\hspace'\\[0.5em] \large &\large =&\large e^ + x \hspacee^ \times (x^2+1)' \\[0.5em] \large &\large =&\large e^ + x \hspacee^ \times 2x \\[0.5em] \large &\large =&\large e^ + 2x^2 \hspacee^ \\[0.5em] \large &\large =&\large (1+2x^2) \hspacee^ \\[0.5em] \end

【解答と解説】 本問は指数関数と無理関数の積であるため積の微分公式 $$\displaystyle\large< \' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>$$ から計算します。

\begin \large \hspacey\hspace'&\large =&\large (2^x)\hspace'\hspace\sqrt + 2^x \hspace(\sqrt)\hspace'\\[0.5em] \large &\large =&\large ( \log 2)\hspace 2^x \hspace\sqrt +2^x \hspace\frac(x^2+1)^\times (x^2+1)' \hspace \\[0.5em] \large &\large =&\large ( \log 2)\hspace 2^x \hspace\sqrt +2^x \hspace\frac(x^2+1)^\times 2x \\[0.5em] \large &\large =&\large ( \log 2)\hspace 2^x \hspace\sqrt +2^x \frac\hspace \\[0.5em] \large &\large =&\large 2^x\left( (\log 2 )\hspace\sqrt + \frac \right) \\[0.5em] \end

【解答と解説】 本問は指数関数と無理関数の積であるため積の微分公式 $$\displaystyle\large< \' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>$$ から計算します。

積の微分公式から \begin \large y\hspace'&\large =&\large (5^x)\hspace'\hspace\log x + 5^x \hspace(\log x)\hspace'\\[0.5em] \large &\large =&\large ( \log 5)\hspace 5^x \hspace\log x +5^x \hspace\frac \\[0.5em] &\large =&\large 5^x\left( (\log 5 )\hspace\log x + \frac \right) \\[0.5em] \end

【解答と解説】 本問は指数関数と三角関数の積であるため積の微分公式 $$\displaystyle\large< \' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>$$ から計算します。

積の微分公式から \begin \large y\hspace'&\large =&\large (e^x)\hspace'\hspace\sin 2x + e^x \hspace(\sin 2x)\hspace'\\[0.5em] \large &\large =&\large e^x\hspace\sin 2x + e^x \hspace(\cos 2x)\hspace(2x)' \\[0.5em] \large &\large =&\large e^x\hspace\sin 2x + 2e^x \hspace\cos 2x \\[0.5em] \large &\large =&\large e^x\hspace(\sin 2x + 2\hspace\cos 2x) \\[0.5em] \end

商の微分公式から \begin \large y\hspace'&\large =&\large \frac\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac \\[0.5em] \large &\large =&\large \frac \\[0.5em] \end