オイラー角による回転行列の表現
オイラー角による回転行列の表現

オイラー角による回転行列の表現

オイラー角による回転行列の表現方法について解説しています。3つの軸をの順に回転させることによって、任意の回転を実現する方法の一つです。

$C'$ のそれぞれの座標軸を向く単位ベクトルを $\< \mathbf_', \mathbf_', \mathbf_' \>$ とすると、 これらは正規直交基底を成す。 物体と座標系が同様に回転するので、 回転後における座標系 $C'$ と 位置 $\mathbf'$ の間の相対位置関係は、 回転前における座標系 $C$ と 位置 $\mathbf$ の間の相対位置関係と変わらない(下図)。 従って、 回転後の物体の位置 $\mathbf'$ を座標系 $C'$ によって表すと、 回転前の物体の位置 $\mathbf$ を座標系 $C$ で表したとき(上の式)と同じ座標値を持つ。 すなわち、 $\mathbf'$ は

$z$ 軸の真上から見た図。 回転後の座標系 $C'$ と位置 $\mathbf'$ の間の相対位置関係は、 回転前の座標系 $C$ と位置 $\mathbf$ の間の相対位置関係と変わらない。 また、 回転後の正規直交基底 $\< \mathbf_', \mathbf_', \mathbf_' \>$ は、 回転前の正規直交基底 $\< \mathbf_, \mathbf_, \mathbf_ \>$ によって、 $(2)$ $y$ 軸回転 :

物体を座標系 $C'$ の $y'$ 軸まわりに角度 $\theta$ だけ回転させる。 このとき、 物体だけでなく座標系 $C'$ も同様に回転させ、 新しい座標系 $C''$ を定義する。 よって、 回転後の座標系 $C''$ は座標系 $C'$ を $y$ 軸まわりに角度 $\theta$ だけ回転させて得られる座標系であり、 座標軸を $x''$, $y''$, $z''$ と表すことにする (下図)。

座標系 $C$ と $C'$ (点線) と $C''$ (オレンジ)

$C''$ のそれぞれの座標軸を向く単位ベクトルを $\< \mathbf_'', \mathbf_'', \mathbf_'' \>$ とすると、 これらは正規直交基底を成す。 物体と座標系が同様に回転するので、 回転後における座標系 $C''$ と 位置 $\mathbf''$ の間の相対位置関係は、 回転前における座標系 $C'$ と 位置 $\mathbf'$ の間の相対位置関係と変わらない(下図)。 従って、 回転後の物体の位置 $\mathbf''$ を座標系 $C''$ によって表すと、 回転前の物体の位置 $\mathbf'$ を座標系 $C'$ で表したとき(上の式)と同じ座標値を持つ。 すなわち、 $\mathbf''$ は

$y'$ 軸の真上から見た図。 回転後の座標系 $C''$ と位置 $\mathbf''$ の間の相対位置関係は、 回転前の座標系 $C'$ と位置 $\mathbf'$ の間の相対位置関係と変わらない。

また、回転後の正規直交基底 $\< \mathbf_'', \mathbf_'', \mathbf_'' \>$ は、 回転前の正規直交基底 $\< \mathbf_', \mathbf_', \mathbf_' \>$ によって、 $(3)$ $z$ 軸回転 :

最後に物体を座標系 $C''$ の $z''$ 軸まわりに角度 $\psi$ だけ回転させる。 このとき、 物体だけでなく座標系 $C''$ も同様に回転させ、 新しい座標系 $C'''$ を定義する。 よって、 回転後の座標系 $C'''$ は座標系 $C''$ を $z$ 軸まわりに角度 $\psi$ だけ回転させて得られる座標系であり、 座標軸を $x'''$, $y'''$, $z'''$ と表すことにする (下図)。

座標系 $C$ と $C'$ と $C''$ (点線) と $C'''$ (オレンジ)

$C'''$ のそれぞれの座標軸を向く単位ベクトルを $\< \mathbf_''', \mathbf_''', \mathbf_''' \>$ とすると、 これらは正規直交基底を成す。 回転後の物体の位置を $\mathbf'''$ とし、 回転後の座標系 $C'''$ の正規直交基底を $\< \mathbf_''', \mathbf_''', \mathbf_''' \>$ と表す。 物体と座標系が同様に回転するので、 回転後における座標系 $C'''$ と 位置 $\mathbf'''$ の間の相対位置関係は、 回転前における座標系 $C''$ と 位置 $\mathbf''$ の間の相対位置関係と変わらない(下図)。 従って、 回転後の物体の位置 $\mathbf'''$ を座標系 $C'''$ によって表すと、 回転前の物体の位置 $\mathbf''$ を座標系 $C''$ で表したとき(上の式)と同じ座標値を持つ。 すなわち、 $\mathbf''$ は

$y'$ 軸の真上から見た図。 回転後の座標系 $C''$ と位置 $\mathbf''$ の間の相対位置関係は、 回転前の座標系 $C'$ と位置 $\mathbf'$ の間の相対位置関係と変わらない。

また、回転後の正規直交基底 $\< \mathbf_'', \mathbf_'', \mathbf_'' \>$ は、 回転前の正規直交基底 $\< \mathbf_', \mathbf_', \mathbf_' \>$ によって、

以上の 3 つの回転の結果として現れた正規直交基底 $\< \mathbf_''', \mathbf_''', \mathbf_''' \>$ は、 基底間の関係 $(*)$ $(**)$ $(***)$ を用いると、 最初の正規直交基底 $\< \mathbf_, \mathbf_, \mathbf_ \>$ によって

と表すことができる。 これらより、3つの回転後の物体の位置 $\mathbf'''$ は、 と表される。 ここで3つの回転後の物体の位置 $\mathbf'''$ を と表すと、 これが $(*4)$ と等しいことから、 の関係があることが分かる。 この関係を行列によって表すと、

である。 $ r_''',r_''',r_''' $ は、3 つの回転後の物体の位置であり、 一方、 $ r_,r_,r_ $ は物体の初期位置を座標値である。 従って、上の変換式は、 3 つの回転後の物体の位置が初期位置に対して回転行列