ビュフォンの針の理論

ビュフォンの針(Buffon&#039;s needle)とは，針を落として，等間隔に並んだ線と交わる確率を求めるという話です。円が全く絡んでいないにもかかわらず，確率に円周率が出てくるため，不思議に思われることが多いです。ビュフォンの針について，その確率を数学的に導出しましょう。

\begin&2\left\ \\ &= \left[ -\frac\cos\theta\right]_0^ +2 \left(\frac-\theta_0\right) \\ &= \frac (1-\cos\theta_0) +\pi -2\theta_0 \end

証明終

ビュフォンの針を用いた円周率の近似

簡単のため， l=d としましょう。すなわち，針の長さが線の間隔と等しいとします。すると，針を落としたときに線の交わる確率は \dfrac になります。

実際に針を N 本落として， M 本が線と交わったとしましょう。このとき，おおよそ

と近似できるわけです。この手法を用いれば，円周率 \pi を求めることができそうですね。実際のところは，この近似手法は近似の精度が良くない（精度よく近似するためには，ものすごい数の針を投げなければならない）ため，使われることは少ないです。

二項分布の期待値(平均)・分散・標準偏差とその導出証明

有名な確率分布の1つである，「二項分布 (binomial distribution)」について，その期待値(平均)E[X>・分散V(X)・標準偏差を述べ，その証明を，「定義から直接証明」「ベルヌーイ分布の和を用いた証明」「特性関数の微分を用いた証明」の3通りで行います。

二項分布の歪度・尖度とその導出証明二項分布の歪度（わいど, skewness）・尖度（せんど, kurtosis）について，その結果と，導出の証明を行いましょう。導出のために，特性関数を用いて，二項分布の1～4次モーメントも求めます。【確率論】チェビシェフの不等式とその例題・証明

チェビシェフの不等式 ( Chebyshev's inequality) とは，裾の確率を上から評価する不等式を指します。これについて，例題や証明を理解していきましょう。証明にはマルコフの不等式を用います。

指数分布の定義と例と性質まとめ

指数分布 (exponential distribution) は，確率が指数関数を用いて表現される，「無記憶性」をもつ唯一の連続型確率分布です。これについて，その定義と具体例，性質を図を交えてまとめて紹介しましょう。

正規分布の再生性とその詳しい証明正規分布の再生性 (reproductive property) について，和の再生性と定数倍の再生性に分けて，それぞれを確率密度関数や特性関数を用いて証明しましょう。マルコフの不等式とその証明をわかりやすく厳密に

確率変数に対する不等式P(|X|≧a) ≦ E[|X|]/aをマルコフの不等式 (Markov's inequality) といいます。これについて，分かりやすくかつ厳密に証明しましょう。最後には，一般の測度論に関するマルコフの不等式を紹介します。