群数列の問題と解き方のコツ
群数列の問題と解き方のコツ

群数列の問題と解き方のコツ

この記事では，数列分野の中で扱われる群数列について、解く上で必要になる基本的な考え方を紹介した後、実際に問題を解く過程を見ながら群数列の難問を解く際に必要な応用力の基礎につながる問題の考え方を紹介していきます。

（次にコツ2）よって， n − 1 n-1 n − 1 群までに含まれる項数は ∑ k = 1 n − 1 k = 1 2 n ( n − 1 ) \sum_^ k = \dfrac n(n-1) k = 1 ∑ n − 1 ​ k = 2 1 ​ n ( n − 1 ) よって「第 n n n 群の先頭」は N = 1 2 n ( n − 1 ) + 1 N=\dfrac n(n-1) +1 N = 2 1 ​ n ( n − 1 ) + 1 番目の項である。つまり「第 n n n 群の先頭」は 2 N = n ( n − 1 ) + 2 2N=n(n-1) +2 2 N = n ( n − 1 ) + 2

第 k k k 群には k k k 個の項が含まれる。

よって，第 n n n 群の末項はもとの数列の ∑ k = 1 n k = 1 2 n ( n + 1 ) 番目 \sum_^ k = \dfrac n(n+1)\text k = 1 ∑ n ​ k = 2 1 ​ n ( n + 1 ) 番目 なので，第 n n n 群の末項は n ( n + 1 ) n(n+1) n ( n + 1 ) である。

もとの数列は等差数列であり，第 n n n 群の初項・末項・項数がわかったので和を計算できる。

等差数列の公式：(初項＋末項)×項数÷2 を用いると，

まず， 200 200 200 が第何群に入っているのか求める。

200 200 200 が第 n n n 群に入っている条件は， ( n群の初項 ) ≦ 200 < ( n+1群の初項 ) (\text)\leqq 200\lt (\text) ( n 群の初項 ) ≦ 200 < ( n+1 群の初項 ) となる。つまり，(1)の結果を使うと

この不等式を満たす n n n は 14 14 14 である。

つまり 200 200 200 は第 14 14 14 群に含まれる。また，第 14 14 14 群の初項は(1)より 184 184 184 なので， 200 200 200 は第 14 14 14 群の 9 9 9 番目の項である。

  1. 最初に「 k k k 番目の群に項が何個あるか」考える
  2. 「第 n n n 群の先頭」は何番目か考える。これは「 n − 1 n-1 n − 1 群までに含まれる項数」+1番目

1 , ∣ 3 , 5 , 7 , ∣ 9 , 11 , 13 , 15 , 17 , ∣ ⋯ 1, | 3, 5, 7,| 9, 11, 13, 15, 17, |\cdots 1 , ∣3 , 5 , 7 , ∣9 , 11 , 13 , 15 , 17 , ∣ ⋯

と表される群数列において， 111 111 111 は第何群の何項目か答えよ。

(コツ1) 第 k k k 群には 2 k − 1 2k-1 2 k − 1 個の項が含まれる。

(コツ2)第 n n n 群の初項を求める。 n − 1 n-1 n − 1 群までに含まれる項数は ∑ k = 1 n − 1 ( 2 k − 1 ) = ( n − 1 ) 2 \sum_^(2k-1) = (n-1)^2 k = 1 ∑ n − 1 ​ ( 2 k − 1 ) = ( n − 1 ) 2 であり，第 n n n 群の初項は N = ( n − 1 ) 2 + 1 N=(n-1)^2+1 N = ( n − 1 ) 2 + 1 番目である。また，もとの数列は初項 1 1 1 で公差 2 2 2 の等差数列なので， N N N 番目の数は 2 N − 1 2N-1 2 N − 1 である。

よって，第 n n n 群の初項は， 2 ( n − 1 ) 2 + 1 2(n-1)^2 + 1 2 ( n − 1 ) 2 + 1 111 111 111 が第 n n n 群に入っている条件は， ( n群の初項 ) ≦ 111 < ( n+1群の初項 ) (\text)\leqq 111\lt (\text) ( n 群の初項 ) ≦ 111 < ( n+1 群の初項 ) となり，(1)から n n n 群の初項はわかるので，この不等式を満たす n n n は 8 8 8 である。

つまり 111 111 111 は第 8 8 8 群に含まれる。また，第 8 8 8 群の初項は 2 × 7 2 + 1 = 99 2\times 7^2+1=99 2 × 7 2 + 1 = 99 なので， 111 111 111 は第 8 8 8 群の 7 7 7 番目の項である。

  1. 最初に「 k k k 番目の群に項が何個あるか」考える
  2. 「第 n n n 群の先頭」は何番目か考える。これは「 n − 1 n-1 n − 1 群までに含まれる項数」+1番目

難関大の問題でも 基本的にはこの解き方を使って丁寧に考えるだけで解けます。 様々な問題で練習しましょう。