二次関数のグラフの軸と頂点の求め方など
二次関数のグラフの軸と頂点の求め方など

二次関数のグラフの軸と頂点の求め方など

二次関数の軸の方程式，頂点の座標の求め方について，平方完成を用いた導出，例題，注意点などを解説。

二次関数 y = a x 2 + b x + c y=ax^2+bx+c y = a x 2 + b x + c を平方完成して y = a ( x − p ) 2 + q y=a(x-p)^2+q y = a ( x − p ) 2 + q という形にすれば，軸と頂点がわかります。具体的には， 軸は x = p x=p x = p で 頂点は ( p , q ) (p,q) ( p , q ) になります。

二次関数 y = 2 x 2 + 3 x − 1 y=2x^2+3x-1 y = 2 x 2 + 3 x − 1 の軸の方程式と頂点の座標を求めよ。

y = 2 x 2 + 3 x − 1 y=2x^2+3x-1 y = 2 x 2 + 3 x − 1 を平方完成する。

y = 2 ( x 2 + 2 ⋅ 3 4 x ) − 1 y=2\left(x^2+2\cdot\dfracx\right)-1 y = 2 ( x 2 + 2 ⋅ 4 3 ​ x ) − 1 y = 2 ( x + 3 4 ) 2 − 9 8 − 1 y=2\left(x+\dfrac\right)^2-\dfrac-1 y = 2 ( x + 4 3 ​ ) 2 − 8 9 ​ − 1 y = 2 ( x + 3 4 ) 2 − 17 8 y=2\left(x+\dfrac\right)^2-\dfrac y = 2 ( x + 4 3 ​ ) 2 − 8 17 ​

  • 軸の方程式は x = − 3 4 x=-\dfracx = − 4 3 ​
  • 頂点の座標は ( − 3 4 , − 17 8 ) \left(-\dfrac,-\dfrac\right) ( − 4 3 ​ , − 8 17 ​ )
軸と頂点を求める公式

二次関数 y = a x 2 + b x + c y=ax^2+bx+c y = a x 2 + b x + c において，

軸の方程式は x = − b 2 a x=-\dfrac x = − 2 a b ​

頂点の座標は ( − b 2 a , − b 2 + 4 a c 4 a ) \left(-\dfrac,\dfrac\right) ( − 2 a b ​ , 4 a − b 2 + 4 a c ​ )

y = a x 2 + b x + c y=ax^2+bx+c y = a x 2 + b x + c を平方完成する：

y = a ( x 2 + 2 ⋅ b 2 a x ) + c y=a\left(x^2+2\cdot\dfracx\right)+c y = a ( x 2 + 2 ⋅ 2 a b ​ x ) + c y = a ( x + b 2 a ) 2 − b 2 4 a + c y=a\left(x+\dfrac\right)^2-\dfrac+c y = a ( x + 2 a b ​ ) 2 − 4 a b 2 ​ + c y = a ( x + b 2 a ) 2 + − b 2 + 4 a c 4 a y=a\left(x+\dfrac\right)^2+\dfrac y = a ( x + 2 a b ​ ) 2 + 4 a − b 2 + 4 a c ​

よって，軸の方程式は x = − b 2 a x=-\dfrac x = − 2 a b ​ ，頂点の座標は ( − b 2 a , − b 2 + 4 a c 4 a ) \left(-\dfrac,\dfrac\right) ( − 2 a b ​ , 4 a − b 2 + 4 a c ​ )

二次関数 y = 2 x 2 + 3 x − 1 y=2x^2+3x-1 y = 2 x 2 + 3 x − 1 の軸の方程式と頂点の座標を求めよ。

公式において， a = 2 , b = 3 , c = − 1 a=2,b=3,c=-1 a = 2 , b = 3 , c = − 1 とすると，

  • 軸の方程式は x = − 3 2 ⋅ 2 x=-\dfracx = − 2 ⋅ 2 3 ​ ，つまり x = − 3 4 x=-\dfracx = − 4 3 ​
  • 頂点の y y y 座標は − 3 2 + 4 ⋅ 2 ⋅ ( − 1 ) 4 ⋅ 2 = − 17 8 \dfrac=-\dfrac4 ⋅ 2 − 3 2 + 4 ⋅ 2 ⋅ ( − 1 ) ​ = − 8 17 ​
  • 毎回平方完成すればよいだけなので，軸の方程式や頂点の座標の公式は覚えなくても問題はありません（平方完成の修得は必須です）。
  • ただし，軸の方程式（頂点の x x x 座標）が必要になる機会はとても多いため， − b 2 a -\dfrac− 2 a b ​ は覚えてしまうことをオススメします。
  • 頂点の y y y 座標は（覚えなくても構いませんが）判別式を D D D として − D 4 a -\dfrac− 4 a D ​ と書けば覚えやすいです。

軸の方程式（頂点の x x x 座標）の他の解釈

x = − b 2 a x=-\dfrac x = − 2 a b ​ は平方完成すればすぐに導出できましたが，他の理解の方法もあります。

実数解を持つ場合にしか通用しない考え方だが，頂点の x x x 座標は二次方程式 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 の解の平均である。この二次方程式の解の和は解と係数の関係より − b a -\dfrac − a b ​ であるので，これを 2 2 2 で割れば頂点の x x x 座標が求まる。

二次関数において，接線の傾きが 0 0 0 となる点が頂点なので，その x x x 座標は y ′ = 0 y'=0 y ′ = 0 の解として求まる。

y ′ = 2 a x + b y'=2ax+b y ′ = 2 a x + b より x = − b 2 a x=-\dfrac x = − 2 a b ​ と分かる。

東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る