カルダノの公式と例題【三次方程式の解の公式】

三次方程式の解の公式であるカルダノの公式を解説します。一般的な三次方程式を解く説明をした後具体的な三次方程式を解いてみます。

両辺を a a a で割ると， x 3 + A x 2 + B x + C = 0 x^3+Ax^2+Bx+C=0 x 3 + A x 2 + B x + C = 0 という形になります。さらに，平行移動することで X 3 + p X + q = 0 X^3+pX+q=0 X 3 + pX + q = 0 という形になります（具体的には X = x + A 3 X=x + \dfrac X = x + 3 A ​ を新たな変数とします）。

ここで，唐突ですが X = u + v X=u+v X = u + v とおき自由度を1つ増やします。これがこの方法の一番の特徴です。

X 3 + p X + q = 0 X^3+pX+q=0 X 3 + pX + q = 0 に代入すると，

( u + v ) 3 + p ( u + v ) + q = 0 (u+v)^3+p(u+v)+q=0 ( u + v ) 3 + p ( u + v ) + q = 0

u 3 + v 3 + q + ( 3 u v + p ) ( u + v ) = 0 u^3+v^3+q+(3uv+p)(u+v)=0 u 3 + v 3 + q + ( 3 uv + p ) ( u + v ) = 0

u 3 + v 3 + q = 0 , 3 u v = − p ⋯ ( ∗ ) u^3+v^3+q=0,3uv=-p\cdots(*) u 3 + v 3 + q = 0 , 3 uv = − p ⋯ ( ∗ )

を満たす u , v u,v u , v の組を見つければそこから x x x が求まります。

X = u + v X=u+v X = u + v と置いて ( ∗ ) (*) ( ∗ ) を導出したが，唐突な置換を用いずに ( ∗ ) (*) ( ∗ ) にたどりつくこともできる。

有名な因数分解公式 X 3 + Y 3 + Z 3 − 3 X Y Z = ( X + Y + Z ) ( X + ω Y + ω 2 Z ) ( X + ω 2 Y + ω Z ) X^3+Y^3+Z^3-3XYZ\\ =(X+Y+Z)(X+\omega Y+\omega^2Z)(X+\omega^2Y+\omega Z) X 3 + Y 3 + Z 3 − 3 X Y Z = ( X + Y + Z ) ( X + ωY + ω 2 Z ) ( X + ω 2 Y + ω Z )

X 3 + p X + q = 0 X^3+pX+q=0 X 3 + pX + q = 0

の係数を比較して q = Y 3 + Z 3 , p = − 3 Y Z q=Y^3+Z^3,p=-3YZ q = Y 3 + Z 3 , p = − 3 Y Z となれば，因数分解して X X X が求まる。これは（ u = − Y , v = − Z u=-Y,v=-Z u = − Y , v = − Z と置けば） ( ∗ ) (*) ( ∗ ) と同じ式。

導いた u , v u,v u , v の連立方程式を解く→ X X X を求める→ x x x を求める，という流れです。

( ∗ ) (*) ( ∗ ) の2つ目の式から v v v を消去して1つ目の式に代入すると， u 3 u^3 u 3 についての2次方程式を得ます：

u 6 + q u 3 − p 3 27 = 0 u^6+qu^3-\dfrac=0 u 6 + q u 3 − 27 p 3 ​ = 0

u 3 = − q ± q 2 + 4 p 3 27 2 = − q 2 ± q 2 4 + p 3 27 u^3=\dfrac=-\dfrac\pm\sqrt+\dfrac> u 3 = 2 − q ± q 2 + 27 4 p 3 ​

​ ​ = − 2 q ​ ± 4 q 2 ​ + 27 p 3 ​

ここで，もともとの u , v u,v u , v の連立方程式は u u u と v v v に関して対称なので， v 3 v^3 v 3 も同じ式で求まります。そして， u u u がプラスの方の符号の解で v v v がマイナスの方の符号の解としても一般性を失いません：

u 3 = − q 2 + q 2 4 + p 3 27 u^3=-\dfrac+\sqrt+\dfrac> u 3 = − 2 q ​ + 4 q 2 ​ + 27 p 3 ​

ここで，三乗根を取る際に注意が必要です。 a a a の三乗根は a 3 \sqrt[3] 3 a

​ ω 2 （ただし ω = − 1 + 3 i 2 \omega=\dfraci> ω = 2 − 1 + 3

なので， u u u が3通り求まります。

そこから， ( ∗ ) (*) ( ∗ ) によって対応する v v v が求まり,

X = u + v X=u+v X = u + v が求まり， x = X − A 3 x=X-\dfrac x = X − 3 A ​ が求まるというわけです。

x 3 + 3 x 2 + x + 1 = 0 x^3+3x^2+x+1=0 x 3 + 3 x 2 + x + 1 = 0 を解け。

( x + 1 ) 3 − 2 ( x + 1 ) + 2 = 0 (x+1)^3-2(x+1)+2=0 ( x + 1 ) 3 − 2 ( x + 1 ) + 2 = 0 より， X = x + 1 X=x+1 X = x + 1 と置くと， X 3 − 2 X + 2 = 0 X^3-2X+2=0 X 3 − 2 X + 2 = 0

・ u , v u,v u , v についての連立方程式を導く

X = 0 X=0 X = 0 は解でないので 0 0 0 でない複素数 u , v u,v u , v を用いて X = u + v X=u+v X = u + v とおける。これを方程式に代入して整理する：

u 3 + v 3 + 2 = 0 u^3+v^3+2=0 u 3 + v 3 + 2 = 0

3 u v = 2 3uv=2 3 uv = 2

・ u , v u,v u , v を求める

第二式から v v v を消去して第一式に代入すると，

u 6 + 2 u 3 + 8 27 = 0 u^6+2u^3+\dfrac=0 u 6 + 2 u 3 + 27 8 ​ = 0

u 3 u^3 u 3 について解くと， u 3 = − 1 ± 19 27 u^3=-1\pm\sqrt> u 3 = − 1 ± 27 19 ​

u , v u,v u , v の対称性より u u u がプラスの符号を採用する。

この3乗根を取ると u u u が 3 3 3 つ求まる。

そして，もとの連立方程式に代入して対応する v v v を求める：

​ , ω 2 3 − 1 − 27 19 ​

⎛ ​ ω 2 3 − 1 + 27 19 ​

・ x = u + v − 1 x=u+v-1 x = u + v − 1 が求まる

x = − 1 + 19 27 3 + − 1 − 19 27 3 − 1 x=\sqrt[3]>>+\sqrt[3]>>-1 x = 3 − 1 + 27 19 ​

​ − 1 , ω − 1 + 19 27 3 + ω 2 − 1 − 19 27 3 − 1 \omega\sqrt[3]>>+\omega^2\sqrt[3]>>-1 ω 3 − 1 + 27 19 ​

​ + ω 2 3 − 1 − 27 19 ​

​ − 1 , ω 2 − 1 + 19 27 3 + ω − 1 − 19 27 3 − 1 \omega^2\sqrt[3]>>+\omega\sqrt[3]>>-1 ω 2 3 − 1 + 27 19 ​

実数の間の等式 5 2 + 7 3 − 5 2 − 7 3 = 2 ⋯ ⋯ ( ∗ ) \sqrt[3] + 7> - \sqrt[3] - 7> = 2 \quad \cdots\cdots \; (\ast) 3 5 2

1. 係数が整数である x x x の三次方程式で x = 5 2 + 7 3 − 5 2 − 7 3 x = \sqrt[3] + 7> - \sqrt[3] - 7> x = 3 5 2 ​ + 7 ​ − 3 5 2 ​ − 7 ​ が解になるものを1つ求めよ。
2. 1 で求めた三次方程式を解くことにより，等式 ( ∗ ) (\ast) ( ∗ ) を証明せよ。

1. α = 5 2 + 7 3 \alpha = \sqrt[3] + 7> α = 3 5 2 ​ + 7 ​ ， β = 5 2 − 7 3 \beta = \sqrt[3] - 7> β = 3 5 2 ​ − 7 ​ とおく。このとき x = α − β x = \alpha - \beta x = α − β である。 x 3 = ( α − β ) 3 = α 3 − 3 α 2 β + 3 α β 2 − β 3 = ( α 3 − β 3 ) − 3 α β ( α − β ) \begin x^3 &= (\alpha - \beta)^3\\ &= \alpha^3 - 3 \alpha^2 \beta + 3 \alpha \beta^2 - \beta^3\\ &= (\alpha^3 - \beta^3) - 3 \alpha \beta (\alpha - \beta) \end x 3 ​ = ( α − β ) 3 = α 3 − 3 α 2 β + 3 α β 2 − β 3 = ( α 3 − β 3 ) − 3 α β ( α − β ) ​ となる。ここで α 3 − β 3 = ( 5 2 + 7 ) − ( 5 2 − 7 ) = 14 α β = ( 5 2 ) 2 − 7 2 3 = 1 \begin \alpha^3 - \beta^3 &= (5\sqrt + 7) - (5\sqrt - 7)\\ &= 14\\ \alpha \beta &= \sqrt[3]\\ &= 1 \end α 3 − β 3 α β ​ = ( 5 2 ​ + 7 ) − ( 5 2 ​ − 7 ) = 14 = 3 ( 5 2 ​ ) 2 − 7 2 ​ = 1 ​ より x 3 = 14 − 3 x x^3 = 14 - 3x x 3 = 14 − 3 x すなわち x 3 + 3 x − 14 = 0 ⋯ ⋯ ( ∗ ∗ ) x^3 + 3x - 14 = 0 \quad \cdots\cdots \; (\ast\ast) x 3 + 3 x − 14 = 0 ⋯⋯ ( ∗ ∗ ) が求める方程式である。
2. 2 3 + 3 ⋅ 2 − 14 = 0 2^3 + 3 \cdot 2 - 14 = 0 2 3 + 3 ⋅ 2 − 14 = 0 より x = 2 x=2 x = 2 は ( ∗ ∗ ) (\ast \ast) ( ∗ ∗ ) の解である。因数定理より x 3 + 3 x − 14 = ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 7 ) x^3 + 3x -14 = (x-2) (x^2 + 2x + 7) x 3 + 3 x − 14 = ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 7 ) と因数分解される。よって ( ∗ ∗ ) (\ast\ast) ( ∗ ∗ ) の解は x = 2 , − 1 ± 6 i x = 2 , -1\pm \sqrti x = 2 , − 1 ± 6 ​ i である。 ( ∗ ∗ ) (\ast\ast) ( ∗ ∗ ) の実数解は x = 2 x=2 x = 2 のみであるため， ( ∗ ) (\ast) ( ∗ ) が従う。

三次方程式 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ( a ≠ 0 ) ax^3+bx^2+cx+d=0 \qquad (a\neq 0) a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ( a  = 0 ) について考える。

まず p = 3 a c − b 2 3 a 2 , q = 2 b 3 − 9 a b c + 27 a 2 d 27 a 3 p=\dfrac,\qquad q=\dfrac p = 3 a 2 3 a c − b 2 ​ , q = 27 a 3 2 b 3 − 9 ab c + 27 a 2 d ​ とおく。

さらに U = − q 2 + q 2 4 + p 3 27 , V = − q 2 − q 2 4 + p 3 27 U=-\dfrac+\sqrt+\dfrac>,\qquad V=-\dfrac-\sqrt+\dfrac> U = − 2 q ​ + 4 q 2 ​ + 27 p 3 ​

​ , V = − 2 q ​ − 4 q 2 ​ + 27 p 3 ​

x = − b 3 a + U 3 + V 3 x=-\dfrac+\sqrt[3]+\sqrt[3] x = − 3 a b ​ + 3 U

x = − b 3 a + ω U 3 + ω 2 V 3 x=-\dfrac+\omega\sqrt[3]+\omega^2\sqrt[3] x = − 3 a b ​ + ω 3 U

x = − b 3 a + ω 2 U 3 + ω V 3 x=-\dfrac+\omega^2\sqrt[3]+\omega\sqrt[3] x = − 3 a b ​ + ω 2 3 U

ただし ω = − 1 + 3 i 2 \omega=\dfraci> ω = 2 − 1 + 3

​ i ​ は 1 1 1 の原始3乗根である。

東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る

• 三次方程式について
• ステップ1：三次方程式の立方完成
• ステップ2：カルダノの公式の核心
• ステップ3：変数を順々に求めていく
• 三次方程式の具体例
• 三次方程式の解の公式