二次曲線とは 楕円の方程式の考え方と書き方

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こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。この記事のトピックは「放物線の理解とグラフの書き方、焦点と準線」です。 二次曲線は軌跡の問題ここから二次曲線という新しい分野がスタートしますが、そもそも二次曲線とは何.

楕円の一般形をじっくり考える

与えられた楕円の式から楕円を描く

ことがほとんどなので 楕円の式から情報を抜き取れなければいけない のです。放物線の場合は焦点と準線があればかけましたが、楕円の場合は楕円の式の値を使って「焦点を計算する」という手順が必要になります。

まず焦点を2つ用意します。今回は簡単のため \(x\) 軸上に対称に置くことにします。つまり

こんな状況を考えます。焦点の座標は \((c,0)\) と \((-c,0)\) で、求める軌跡の点の座標はもちろん P\((x,y)\) です。

２つの点からの距離の和が等しい点の軌跡

という条件になります。今回はこの「一定」という部分を \(2a\) とします。つまり

楕円でいうこの一番長くなる長さを \(2a\) と置いたことと同じです。確かに上の図にあるようにPを一番端に置いた時、

が成り立ちます。ですから図でいう色のついている部分が \(2a\) になるのです。

もちろんこれはわかっているからこう置けるだけで、「なんで \(2a\) なの？」と疑問を持つと思いますが、今は認めてあげると楕円の式の形がわかりやすくなるのでそういうものだと思っておきましょう。

ただし、適当に計算すると沼にはまりますので、一つずつ計算を進めていきます。

まず平方根があるので二乗したいのですが、このまま両辺を二乗すると平方根の掛け算が出てきて大変なので

ですね。平方根とそれ以外に分けました。これで もう一度両辺を二乗 すると

ここまで変形できました。 ここで \(a^2-c^2\) の平方根 を考えると、図でいうと

みてわかる通り FP\(=a\) であり、OF\(=c\) なので \(\sqrt\) は三平方の定理から

この赤い部分ですね。ですのでこれを \(b=\sqrt\) と置くとわかりやすくなりそうです。これを使えば

楕円の方程式を紐解く

さて、楕円の方程式を出したのはいいですが、これらは 色々文字で置いたりした のでその意味をもう一度確認しておきます。

出てくるのは \(a\) と \(b\) ですね。まずは \(a\) から見ると、どこで出てきたかというと

和の定数部分を \(2a\) と置いた

この色のついた部分が \(a\) となります。ですから 楕円の内側の一番長い ところが \(2a\) というわけです。

これをこれから私たちは 「長軸」 と呼ぶことにします。

同じように \(b\) は短い部分を置いたのでしたね。

\(2b\) は内側の短い部分 になりますが、これを 「短軸」 と呼びます。

また先ほど \(b\) を決めたときのことを思い返すと

でしたから、ここから焦点の座標を \(a,b\) を使って求めることができます。

このようにまとめることができます。 \(2a\) が長軸 、 \(2b\) が短軸 、 焦点 は \((\sqrt,0)\) と \((-\sqrt,0)\) です。作り方は難しかったですが、一度理解すれば図との対応だけを覚えるだけでOKです。

長軸 は \(2a\) 、 短軸は \(2b\)

楕円の方程式からグラフを書く

では楕円の方程式からグラフを書いてみましょう。これができれば楕円の基本はOKです。

この式を見たときにまずは 楕円だということをしっかりとイメージしましょう 。そしてまずは \(a,b\) が何かを考えます よ。

となりますね。ここから 長軸が \(2a=10\)、短軸は \(2b=6\) とわかりますので、この時点で楕円を描くことは可能です。こんな感じでしょうか。

ここですね。問題をやってみるとわかるのですが、 作った時に考えたことを全く使わずに楕円の特徴だけで図がかけてしまう のです。ですから一度しっかりと理解ができれば機械的に図は書くことができます。

先ほどと \(a\) と \(b\) の値が逆になっているのですが、こういう場合は

このように縦長の楕円になります。 先ほどまで短軸といわれていた \(b\) の方が大きい ので自然ですね。この場合は焦点が

となります。\(b\) と \(a\) の立場が逆転しているのでこれも自然です。もちろん焦点は

ですね。さらに 焦点は \(y\) 軸上 になります。これも 楕円が縦になっただけなので先ほどまで \(x\) 軸上にあったものが \(y\) 軸上になるだけ です。つまり焦点は

まとめ

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コメント

楕円の方程式の一般形はなぜあんな形をしているか、全く考えたこともなかったので今回の記事は本当に助かりました。 楕円の方程式を導く際に、1回目に両辺を二乗した後、式を整理していると思うのですが、右辺の一番右の項はy^2ではなくc^2ではないでしょうか。 自信はないので間違っていたらすみません。

いつもコメントありがとうございます！ そのように言ってもらえることが何よりの原動力です。これからも新しい気づきができる記事を作っていけるように頑張ります！ ご指摘いただいたところを確認したところ c^2 が抜けているので変になっていることに気づきました。 ご指摘していただいて気づくことができましたので大変助かります。 これからもどうぞ高校数学の知識庫をよろしくお願いいたします！ da Vinch

t 様 ご返信が遅れ誠に申し訳ございません・・・！ ご指摘大変助かります、ありがとうございます！！ こちらご指摘いただいた箇所を修正いたしましたので、ご確認いただけますと幸いです。 t様のようなご指摘をいただける方のおかげで記事の信憑性向上が少しずつ進んでいること、とても感謝しております！ 至らぬ点も多々ございますが、引き続き当サイトをよろしくお願いいたします！ da Vinch

コメントを見ていただき嬉しい限りです。 訂正箇所についてなんですが、その1つ上の式の左辺にあったy^2が整理した後の左辺では消去されています。これは右辺のy^2を移項したからではないでしょうか？つまり、訂正箇所の隣のy^2は要らないのではないでしょうか？ 細かい部分で申し訳ないのですが、ご確認いただけると幸いです。

コメントありがとうございます！ 色々な誤植があり大変申し訳ありません。ご指摘いただいたところはその通りで、消えたのか消えてないのかわからない状態になっていました。 訂正として、右辺と左辺のどちらにもy^2を入れさせていただき、その次の式で消去したという形に書き換えました。 計算はスワン様の考え方で間違いないですのでそのまま進めていただければと思います。 今後とも高校数学の知識庫をよろしくお願いいたします！

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