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【新課程】数研出版：数学Ⅱ[709]
このページは、数研出版：数学Ⅱ 第１章 式と証明それぞれの問題の解説はありませんが、類題の解説はリンク先にありますので参考にしてください。また、解答は独自で解いたものですので、間違えやタイプミス等がありましたらご連絡ください。数研出版：数学...
\(\begin~~~&=&_n \mathrm< C >_0 \cdot 1^n \cdot (-1)^0+_n \mathrm< C >_1 \cdot 1^ \cdot (-1)^1+_n \mathrm< C >_2 \cdot 1^ \cdot (-1)^2+\cdots+_n \mathrm< C >_n \cdot 1^0 \cdot (-1)^n \\[3pt]~~~&=&_n \mathrm< C >_0-_n \mathrm< C >_1+_n \mathrm< C >_2-\cdots+(-1)^n_n \mathrm< C >_n\end\)
したがって、 \(_n \mathrm< C >_0-_n \mathrm< C >_1+_n \mathrm< C >_2-\cdots+(-1)^n_n \mathrm< C >_n=0\) [終]
\(\begin~~~&=&_n \mathrm< C >_0 \cdot 1^n \cdot (-2)^0+_n \mathrm< C >_1 \cdot 1^ \cdot (-2)^1+_n \mathrm< C >_2 \cdot 1^ \cdot (-2)^2+\cdots+_n \mathrm< C >_n \cdot 1^0 \cdot (-2)^n \\[3pt]~~~&=&_n \mathrm< C >_0-2_n \mathrm< C >_1+2^2_n \mathrm< C >_2-\cdots+(-2)^n_n \mathrm< C >_n\end\)
\(_n \mathrm< C >_0-2_n \mathrm< C >_1+2^2_n \mathrm< C >_2-\cdots+(-2)^n_n \mathrm< C >_n=(-1)^n\) p.14 練習9 \(~105\) \(~140\) \(~35\) p.15 研究 練習1 \(~~~2520\) p.17 練習10 \(~\)商 \(3x-4\)、余り \(6\) \(~\)商 \(2x+1\)、余り \(2x+2\) \(~\)商 \(4x-1\)、余り \(-7x+3\) p.18 練習11 \(~~~=x^2+3x-2\) p.18 練習12 商 \(x^2-ax+2a^2\)、余り \(-2a^3\) p.19 練習13 \(~\displaystyle \frac\) \(~\displaystyle \frac\) p.20 練習14 \(~\displaystyle \frac\) \(~\displaystyle \frac\) p.20 練習15 \(~x-2\) \(~\displaystyle \frac\) p.21 練習16 \(~\displaystyle \frac\) \(~-\displaystyle \frac\) p.21 練習17 \(~\displaystyle \frac\) \(~-a+1\) p.22 問3 (2) と (4) p.23 練習18 \(~a=3~,~b=-1\) \(~a=1~,~b=2~,~c=1\) \(~a=1~,~b=-3~,~c=1~,~d=0\) p.24 練習19 \(~~~a=-3~,~b=5\) p.26 問題 1 \(~\) \(8x^3y^3+12x^2y^2+6xy+1\) p.26 問題 2 \(~\) \((x+yz)(x^2-xyz+y^2z^2)\) \(~\) \((x+y-1)(x^2+2xy+y^2+x+y+1)\) p.26 問題 3 \(~\) \(-2916\) p.26 問題 4 \(~\) 商 \(2x+5\)，余り \(6x-7\) p.26 問題 5 \(3x^3-2x^2-5x+1\) p.26 問題 6 \(~\) \(1\) \(~\) \(\displaystyle\frac\) p.26 問題 7 \(~\) \(a=2~,~b=-2~,~c=1\) \(~\) \(a=-3~,~b=1~,~c=-2\) 第２節 等式と不等式の証明 p.28 練習20 \(~\)[証明] (右辺) したがって、 \((a^2-b^2)(x^2-y^2)=(ax+by)^2-(ay+bx)^2\) [終] p.28 練習21 \(\) [証明] \(a+b+c=0\) より、\(c=-a-b\) p.28 練習22 [証明] \(a+b+c=0\) より、 \(a+b=-c~,~b+c=-a~,~c+a=-b\) p.29 練習23 \(~\)[証明] \(\displaystyle\frac=\displaystyle\frac=k\) とおくと、 p.29 練習24 [証明] \(\displaystyle\frac=\displaystyle\frac=k\) とおくと、 p.30 練習25 \(~~~a=9~,~b=12~,~c=15\) p.30 練習26 \(~~~a:b:c=2:1:3\) p.32 練習27 ［証明］ (左辺)－(右辺)ここで、\(a \gt b~,~c \gt d\) より、
\(a-b \gt 0~,~c-d \gt 0\) であるから、
\((ac+bd)-(ad+bc) \gt 0\) となり、
p.32 問5 [証明] (左辺)－(右辺)\(a-b=0\) すなわち \(a=b\) のとき
p.33 練習28 \(~\)[証明] (左辺)－(右辺) よって、\((a^2+b^2)(x^2+y^2)(ax+by)^2\) [終]\(ay-bx=0\) すなわち \(ay=bx\) のとき
p.33 練習29 [証明] (左辺)－(右辺) p.34 練習30 [証明] 両辺の平方の差は、 p.35 練習31 [証明] 両辺の平方の差は、 p.37 問6 ［証明］ (左辺)ここで、\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、
\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、\(a=b\) のとき
p.37 練習32 \(~\)[証明] \(a\gt 0\) より、\(2a\gt 0~,~\displaystyle \frac\gt 0\)ここで、\(a \gt 0~,~b \gt 0~,~c \gt 0~,~d \gt 0\) より、
\(a \gt 0~,~b \gt 0~,~c \gt 0~,~d \gt 0\) より、\(ad=bc\) のとき
p.37 深める それぞれの等号成立条件は、となるので、\(~x+\displaystyle \frac=2~,~x+\displaystyle \frac=4\) を同時に満たす \(x\) は存在しないから
p.38 問題9 \(~\)[証明] (右辺) p.38 問題10 [証明] \(a+b+c=0\) より、\(c=-a-b\) \((b+c)^2+(c+a)^2+(a+b)^2+2(bc+ca+ab)=0\) [終] p.38 問題11 [証明] \(\displaystyle\frac=\displaystyle\frac=\displaystyle\frac=k\) とおくと、 したがって、\(\displaystyle\frac=\displaystyle\frac\) [終] p.38 問題12 [証明] 両辺の平方の差は、\(\left(1+\displaystyle \frac\right)^2 \gt \left(\sqrt\right)^2\)
ここで、\( a \gt 0 \) であるので、\( 1+\displaystyle \frac \gt 0 \)、\( \sqrt \gt 0 \) より、
p.38 問題13 \(~\)[証明] ∵ \(|\,ab\,|ab\) より、\(|\,ab\,|-ab0\) よって、\(|\,a-b\,|^2\left(\,|\,a\,|-|\,b\,|\,\right)^2\) よって、\(|\,a+b\,|^2\left(\,|\,a\,|-|\,b\,|\,\right)^2\) p.38 問題14 \(~\)[証明] \(a\gt 0~,~b\gt 0\) より、\(ab\gt 0~,~\displaystyle \frac\gt 0\)\(ab\gt 0\) より、\(ab=2\) のとき
ここで、\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、
\(\displaystyle ab \gt 0~,~\frac \gt 0\)
\(\displaystyle ab=\frac~\Leftrightarrow ~ (ab)^2=36\)
\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、\(ab=6\) のとき
p.38 問題 15 \(a=2\) のとき最小値 \(18\) p.38 問題 16 [証明] 長方形の隣り合う \(2\) 辺の長さを \(a~,~b\) とするまた、周の長さは \(2(a+b)\) である
\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、相加平均と相乗平均の大小関係から、
また、等号が成立するのは \(a=b\) のときで、そのとき周の長さは \(2(a+b)\) は最小値 \(4\sqrt\) をとる
したがって、面積が一定値 \(S\) である長方形のうち、周の長さが最小となるのは正方形である。
演習問題 式と証明 p.39 演習問題A 1 \(0\) p.39 演習問題A 2 \(a=3\)、商 \(x+2\) p.39 演習問題A 3 [証明] (左辺)－(右辺)後半部分を \(\displaystyle \frac\) でくくり出すと、
\(a \gt 0~,~b \gt 0~,~c \gt 0\) より、\(a+b+c \gt 0\)
\(\displaystyle \frac(a+b+c)\left\ 0\) p.39 演習問題A 4 [証明] \( (1+x)^n \) の展開式は二項定理より、ここで、\( n \) が2以上の自然数、\( x \gt 0 \) より、
\( _n \mathrm< C >_2 \,x^2+\cdots+_n \mathrm< C >_n \,x^n \gt 0 \)
したがって、\( (1+x)^n \gt 1+nx \) [終] p.39 演習問題B 5 \(x=1~,~y=2\) p.39 演習問題B 6 [証明]（左辺）を \(x~,~y~,~z\) についてまとめると、 p.39 演習問題B 7 [証明] 等式について、 \((a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz)^2+(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2\) \(\begin~~~&=&(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2\end\) \((a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)(ax+by+cz)^2\) [終] p.39 演習問題B 8 \(\displaystyle 2ab \lt \frac \lt a^2+b^2\) p.39 演習問題B 9 \(~\)[証明]ここで、\(|\,a\,|\lt 1\) より \(a^2\lt 1\) であるから、
また、\(|\,b\,|\lt 1\) より \(b^2\lt 1\) であるから、
(1) より \(1+ab\gt 0\) であるから、
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