ヘロンの公式の証明と使用例

三辺の長さから三角形の面積を一瞬で求める有名公式「ヘロンの公式」について，例題，証明方法，発展形などを解説。

S = 23 2 ( 23 2 − 6 ) ( 23 2 − 7 ) ( 23 2 − 10 ) = 23 2 ⋅ 11 2 ⋅ 9 2 ⋅ 3 2 = 3 4 759 \begin S&=\sqrt \left( \dfrac-6 \right) \left( \dfrac-7 \right) \left( \dfrac-10 \right)>\\ &=\sqrt\cdot\dfrac\cdot\dfrac\cdot\dfrac>\\ &=\dfrac\sqrt \end S ​ = 2 23 ​ ( 2 23 ​ − 6 ) ( 2 23 ​ − 7 ) ( 2 23 ​ − 10 )

​ = 2 23 ​ ⋅ 2 11 ​ ⋅ 2 9 ​ ⋅ 2 3 ​

手順1. S S S を3辺の長さ a , b , c a,b,c a , b , c のみで表す

S = 1 2 a b sin ⁡ C S=\dfracab\sin C S = 2 1 ​ ab sin C

となる。 sin ⁡ 2 C + cos ⁡ 2 C = 1 \sin^2C+\cos^2C=1 sin 2 C + cos 2 C = 1 を用いて sin ⁡ \sin sin を cos ⁡ \cos cos に直すと，

S = 1 2 a b 1 − cos ⁡ 2 C S=\dfracab\sqrt S = 2 1 ​ ab 1 − cos 2 C

となる。余弦定理より cos ⁡ C = a 2 + b 2 − c 2 2 a b \cos C=\dfrac cos C = 2 ab a 2 + b 2 − c 2 ​ なので

S = 1 2 a b 1 − ( a 2 + b 2 − c 2 2 a b ) 2 S=\dfracab\sqrt S = 2 1 ​ ab 1 − ( 2 ab a 2 + b 2 − c 2 ​ ) 2

S = 1 2 a b 1 − ( a 2 + b 2 − c 2 2 a b ) 2 = 1 4 ( 2 a b ) 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 ⋯ ( ∗ ) = 1 4 ( 2 a b + a 2 + b 2 − c 2 ) ( 2 a b − a 2 − b 2 + c 2 ) = 1 4 < ( a + b ) 2 − c 2 > < c 2 − ( a − b ) 2 >= 1 4 ( a + b + c ) ( a + b − c ) ( a − b + c ) ( − a + b + c ) = ( a + b + c ) 2 ( − a + b + c ) 2 ( a − b + c ) 2 ( a + b − c ) 2 = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) \begin S &= \dfracab\sqrt\\ &=\dfrac\sqrt\:\:\:\cdots(*)\\ &=\dfrac\sqrt\\ &=\dfrac\sqrt\>\\ &=\dfrac\sqrt\\ &=\sqrt\dfrac\dfrac\dfrac>\\ &=\sqrt \end S ​ = 2 1 ​ ab 1 − ( 2 ab a 2 + b 2 − c 2 ​ ) 2

​ = 4 1 ​ ( 2 ab ) 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2

​ ⋯ ( ∗ ) = 4 1 ​ ( 2 ab + a 2 + b 2 − c 2 ) ( 2 ab − a 2 − b 2 + c 2 )

​ = 4 1 ​ ( a + b + c ) ( a + b − c ) ( a − b + c ) ( − a + b + c )

​ = 2 ( a + b + c ) ​ 2 ( − a + b + c ) ​ 2 ( a − b + c ) ​ 2 ( a + b − c ) ​

​ = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c )

各辺の長さが無理数のときは s = a + b + c 2 s=\dfrac s = 2 a + b + c ​ が汚らしい値になってしまうので，ヘロンの公式は使えません。しかし，辺の長さがもし無理数でも n \sqrt n

S = 1 4 2 ( a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) − ( a 4 + b 4 + c 4 ) S=\dfrac\sqrt S = 4 1 ​ 2 ( a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) − ( a 4 + b 4 + c 4 )

三辺の長さが 5 , 7 , 3 \sqrt,\sqrt,3 5

s = 5 + 7 + 3 2 s=\dfrac+\sqrt+3> s = 2 5

そこで， a 2 = 5 , b 2 = 7 , c 2 = 9 a^2=5,b^2=7,c^2=9 a 2 = 5 , b 2 = 7 , c 2 = 9 として上記の公式を用いると，

S = 1 4 2 ( 35 + 63 + 45 ) − ( 25 + 49 + 81 ) = 131 4 \begin S&=\dfrac\sqrt\\ &=\dfrac> \end S ​ = 4 1 ​ 2 ( 35 + 63 + 45 ) − ( 25 + 49 + 81 )

東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る