ベクトルの和とスカラー倍（2）

結合法則や交換法則など、平面（または空間）上のベクトルの和とスカラー倍に関して成り立つ演算法則を、幾何的なベクトルの定義にしたがって証明します。ベクトルの演算法則はベクトル空間の公理として一般化されます。

（$\text$）と（$\text$）は、ベクトルのスカラー倍の和に関する法則です。一般的な分配法則に形は似ていますが、若干異なるものである点に注意が必要です。一般に、同じ集合 $A$ の元 $a, b, c \in A$ について $(a + b) \, c = ac + bc$ が成り立つことを分配法則といいます。しかしながら（$\text$）と（$\text$）において $c, d$ はスカラー、$\bm, \bm$ はベクトルであり、それぞれ別の集合の元であるためです。

したがって、ベクトルの演算法則（ 定理 1.1）についても、あくまでも 幾何的な定義にしたがって証明します。

（$\text$）$c, d$ のいずれかまたは両方が $0$ に等しいとすると（$\text$）が成り立つのは明らかであるから、$c, d$ はともに $0$ でないとする。

まとめ#

• 任意のベクトルについて次の演算法則が成り立つ。