圧入計算
Calculation for design
圧入計算は、2つの厚肉円筒の組み合わせとして考えます。 各パラメータの添字について軸側を“s”、穴側を“h”とし、添字のないものは共通パラメータとします。 圧入における主設計パラメータは、“軸の外径”と“穴の内径”です。 そこで呼び径\( D \)を共通とし、それぞれの公差を次のように設定します。 次に、温度条件によってはめあい代は変化するので、それを考慮します。 圧入時と径測定時の温度をそれぞれ\( T_i,T_ (i = s, h) \)、線膨張係数を\( \alpha_i \)とすると、圧入時の径は次式で表せます。
\[ D'_i = < 1 + ( T_i - T_) \alpha_i > D_i \tag \] なお、通常径測定時の温度\( T_ \)は常温（20℃）程度です。 温度を考慮した見かけの締め代を次のように設定します。 \[ \delta_ = D'_ - D'_ \\ \delta_ = D'_ - D'_ \tag \] このとき、\( \delta \leq 0 \)なら計算はここで終了になります（すきまばめのため）。 2．つりあい条件さて、圧入は軸外径と穴内径が一致し、その接触部に発生する圧力が互いにつりあう状態にあります。 このときの軸外径 = 穴内径を\( D_c \)、つりあい圧力を\( p_c \)とします。 そうすると、軸外径の変形量\( u_s \)と穴内径の変形量\( u_h \)は、厚肉円筒の応力式（\( \sigma_z = 0 \)）
\[ u = \frac< ( 1 + \nu ) ( p_1 - p_2 ) r_1 ^2 r_2 ^2> < E ( r_2 ^2 - r_1 ^2 ) r >\quad + \frac< ( 1 - \nu ) ( p_1 r_1 ^2 - p_2 r_2 ^2 ) r > < E ( r_2 ^2 - r_1 ^2 ) >\] を用いて、軸は\( r_=r_c, p_1=0, p_2=p_c \)、穴は\( r_=r_c 、p_1=p_c 、p_2=0 \)として次のように表せます。 \[ u_s = -p_c r_c \biggl\< \frac< ( r_c^2 + r_^2 ) >< E_s ( r_c^2 - r_^2 ) > - \frac < \nu_s > < E_s >\biggr\> \tag \] \[ u_h = p_c r_c \biggl\< \frac< ( r_^2 + r_c^2 ) >< E_s ( r_^2 - r_c^2 ) > + \frac < \nu_h > < E_h >\biggr\> \tag \]軸の変形量\( u_s \)は収縮側なので“-”、穴の変形量\( u_h \)は膨張側なので“+”になります。 ただし、これらの式の中には4つの未知数\( p_c, r_c, u_s, u_h \)が含まれます。 また、幾何学的な条件から\( r_c, u_s, u_h \)は次の関係を持ちます。
\[ u_s = r_c - r_ \tag \] \[ u_h = r_c - r_ \tag \]そこで、\( r_c \)を変化させながら軸と穴の\( p_c \)がおおむね一致するまで収束計算を行うことで、これら4つの未知数を近似的に決定します。 このとき、\( r_c \)の初期値は以下のように決める。
\( r_c^ = \frac < D'_+ D'_ > < 2 >\) (締め代最大時） \( r_c^ = \frac < D'_+ D'_ > < 2 >\) (締め代最小時）（3）～（6）式に代入し、を計算する。軸と穴の\( p_c \)の絶対値の差が微小値（例えば10 -6 ）以下になれば、一致したものと判定します。 そうならなければ\( r_c \)を変えて再計算します（本サイトでは二分法を用います）。 収束完了がしたとき、4つの未知数\( p_c, r_c, u_s, u_h \)は確定し、この確定値をもとに周方向応力\( \sigma_t \)が定まります。 これもまた厚肉円筒の発生応力式をもとに求められる（径方向応力は\( p_c \)である）。
\[ \sigma_t = \frac < p_1 r_1 ( r_2 ^2 + r^2 ) - p_2 r_2 ( r^2 + r_1 ^2 ) > < r^2 ( r_2 ^2 - r_1 ^2 ) >\] このとき、軸は\( r_=r_c,p_1=0、p_2=p_c\)、穴は\( r_=r_c 、p_1=p_c 、p_2=0 \)として代入します。 \[ \sigma _ = \frac < -p_c ( r_c ^2 + r_^2 ) > < ( r_c ^2 - r_^2 ) > \tag \] \[ \sigma _ = \frac < p_c ( r_^2 + r_c ^2 ) > < ( r_^2 - r_c ^2 ) > \tag \] 3．圧入荷重・スリップトルク さらに、圧入荷重とスリップトルクは次のようにして求められます。 接触面に発生する\( p_c \)を接触全域で積算することで、垂直抗力\( N \)として作用します。 \[ N = p_c \cdot 2 \pi r_c L \tag \] 従って圧入荷重\( F_p \)は、接触面の摩擦力\( \mu N \)より大きくなければなりません。 \[ F_p \geq \mu N = 2 \pi \mu r_c L p_c \tag \] またスリップは、接触面の摩擦力（結局\( F_p \)と同じ）によって生じるトルクより大きなトルクが加わると発生します。 従って、スリップトルク\( T_s \)は次のようにして求められます。 \[ T_s \geq \mu N r_c = F_p r_c \tag \] 4．さいごにこのページは「圧入計算をどのように行っているか？」について説明しただけです。 理論的な成り立ちについては触れていません。 圧入で発生する応力は、厚肉円筒の式を用いて計算しています。 この導出は“材料力学”ページに記していますので、そちらもあわせて参照ください。 またさらに、厚肉円筒の式は弾性理論から導かれるもので、より深く材料力学の原理を知りたい場合は“弾性理論”ページを参照ください。
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