【表現行列】線形写像の行列表示を詳しく

線形写像と行列の間には，非常に深い関係があります。それは，線形写像は行列を用いて表現することができるというものです。この行列は，「表現行列」や「線形写像の行列表示」と言われます。このことについて，具体例も交えながら紹介していきましょう。

\begin f(\boldsymbol) &= a_\boldsymbol+a_\boldsymbol+\cdots+ a_\boldsymbol, \\ f(\boldsymbol) &= a_\boldsymbol+a_\boldsymbol+\cdots+ a_\boldsymbol, \\ \cdots &\\ f(\boldsymbol) &= a_\boldsymbol+a_\boldsymbol+\cdots+ a_\boldsymbol. \\ \end

と定めることができます。（ 線形写像は，基底の行先を決めるだけで，すべての元の行先が決まる ことに注意しましょう。実際， f(c_1\boldsymbol+\cdots + c_m\boldsymbol ) = c_1f(\boldsymbol) +\cdots+ c_m f(\boldsymbol) を用いればよいです）

上の m 個の式は，行列の積を考えると， n \times m 行列を用いて，形式的に

\begin &\begin f(\boldsymbol) & f(\boldsymbol) & \dots & f(\boldsymbol) \end \\ &= \begin \boldsymbol & \boldsymbol & \dots & \boldsymbol \end \begina_ & a_ & \dots & a_ \\ a_& a_ & \dots & a_ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_& a_ & \dots& a_ \end \end

とかくことができます。このときの， n \times m 行列 A=(a_) を f の 表現行列（行列表示） といいます。

定義（線形写像の表現行列）

V, W を m,n 次元ベクトル空間とし， その基底を \,\boldsymbol,\ldots, \boldsymbol\>, \,\boldsymbol,\ldots, \boldsymbol\> とする。線形写像 f\colon V\to W に関して，これらの基底を用いて

\color\begin &(f(\boldsymbol) , f(\boldsymbol) , \dots , f(\boldsymbol) )\\ &\qquad \quad=( \boldsymbol ,\boldsymbol , \dots ,\boldsymbol ) A \end

とかけるとき，このときの n\times m 行列 A を f の 表現行列（行列表示） という。

ここで， 表現行列は基底の取り方に依存する ことに注意しましょう。

全ての線形写像は，基底を定めるごとに表現行列を取ることができ，逆に基底と n\times m 行列を定めると，それをもとに線形写像 f \colon V\to W を取ることが可能です。

\color ( f(\boldsymbol) , f(\boldsymbol) , \dots , f(\boldsymbol) )= ( \boldsymbol , \boldsymbol , \dots , \boldsymbol) A

となる行列 A のことだ，と覚えてもよいでしょう。

表現行列の求め方の具体例

例題1.

\begin f(\boldsymbol) &= 2\boldsymbol - \boldsymbol, \\ f(\boldsymbol) &= 3\boldsymbol+\boldsymbol \end

であるとする。このときの f の行列表示を答えよ。

\begin f(\boldsymbol) & f(\boldsymbol) \end= \begin\boldsymbol&\boldsymbol &\boldsymbol\end \begin2 & 0 \\ 0 & 3 \\ -1 & 1 \end

ですから，求める行列表示は \color \begin 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ -1 & 1 \end ですね。

例題2.

\begin\boldsymbol &= \boldsymbol, \\ \boldsymbol &= \boldsymbol+\boldsymbol \end

\begin\boldsymbol &= \boldsymbol, \\ \boldsymbol &= \boldsymbol+\boldsymbol , \\ \boldsymbol&= \boldsymbol+\boldsymbol+\boldsymbol\end

\begin\boldsymbol &= \boldsymbol, \\ \boldsymbol &= \boldsymbol-\boldsymbol , \\ \boldsymbol&= \boldsymbol-\boldsymbol\end

\beginf(\boldsymbol) &= f(\boldsymbol) = 2\boldsymbol - \boldsymbol = 2\boldsymbol + \boldsymbol - \boldsymbol \\ f(\boldsymbol) &= f( \boldsymbol+\boldsymbol ) = f(\boldsymbol)+ f(\boldsymbol) \\ &= 2\boldsymbol+3\boldsymbol=-\boldsymbol+3\boldsymbol \end

\begin f(\boldsymbol) & f(\boldsymbol) \end= \begin\boldsymbol&\boldsymbol &\boldsymbol\end \begin2 & -1 \\ 1 & 3 \\ -1 & 0 \end

です。したがって，求める行列表示は \color \begin2 & -1 \\ 1 & 3 \\ -1 & 0 \end ですね。このように，基底を変えると，表現行列は変わります。

例題3.

A = \begin 1 & 0 \\ -1 & 2 \end に対し，線形写像 f\colon \mathbb^2\to \mathbb^2 を

f\colon \begin x \\ y \end \mapsto A \begin x \\ y \end

と定める。このとき， \left\ < \begin1\\ 0 \end , \begin 0 \\ 1 \end \right\> を \mathbb^2 の基底としたときの， f の行列表示を求めよ。

\boldsymbol = \begin 1\\ 0 \end , \; \boldsymbol = \begin 0 \\ 1 \end と定めると，今回の写像は

\begin f(\boldsymbol) & f(\boldsymbol) \end = \begin \boldsymbol & \boldsymbol \end \begin 1 & 0 \\ -1 & 2 \end

となることが分かりますから，求める行列表示は， \color A そのものになりますね。

表現行列(線形写像の行列表示)の性質

定理（成分表示と表現行列）

線形写像 f\colon V\to W の表現行列を A とする。加えて， \boldsymbol \in V に対し， \boldsymbol = f(\boldsymbol) であり，これらは基底を用いて

\begin \boldsymbol &= x_1\boldsymbol+x_2\boldsymbol + \dots + x_m \boldsymbol , \\ \boldsymbol &= y_1\boldsymbol+y_2\boldsymbol+\dots + y_n\boldsymbol \end

\color\begin y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end = A\begin x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m\end

証明

\begin & \begin \boldsymbol& \dots & \boldsymbol\end \begin y_1 \\ \vdots \\ y_n\end\\ &= \boldsymbol = f(\boldsymbol) \\ &= f(x_1\boldsymbol+\cdots + x_m \boldsymbol) \\ &= x_1f(\boldsymbol)+\cdots x_m f(\boldsymbol) \\ &= \begin f(\boldsymbol) & \dots f(\boldsymbol) \end \begin x_1 \\ \vdots \\ x_m \end \\ &= \begin \boldsymbol& \dots & \boldsymbol\end A \begin x_1 \\ \vdots \\ x_m \end \end

\begin y_1 \\ \vdots \\ y_n \end = A\begin x_1 \\ \vdots \\ x_m\end

証明終

定理（線形写像の合成は表現行列の積である）

U,V,W をそれぞれ \< \boldsymbol, \dots ,\boldsymbol\>, \; \< \boldsymbol, \dots ,\boldsymbol\>, \; \< \boldsymbol, \dots ,\boldsymbol\> を基底とするベクトル空間とし， f\colon U\to V,\; g\colon V\to W を線形写像とする。

f, g の表現行列を A_f, A_g とし，線形写像 g\circ f の表現行列を A_ とするとき，

線形写像の合成は，表現行列の積に対応している ということですね。

証明

関数 h に対して， ( h(\boldsymbol), \ldots ,h(\boldsymbol )) を単に h(\boldsymbol, \ldots , \boldsymbol) とかくことにしよう。

\begin f\colon (\boldsymbol,\dots, \boldsymbol)&\mapsto (\boldsymbol,\dots, \boldsymbol)A_f, \\ g\colon (\boldsymbol,\dots, \boldsymbol)&\mapsto (\boldsymbol,\dots, \boldsymbol)A_g \end

\begin g\circ f \colon & (\boldsymbol,\dots, \boldsymbol) \\ &\mapsto g\bigl( (\boldsymbol,\dots, \boldsymbol)A_f \bigr) \\ &= \bigl( g (\boldsymbol,\dots, \boldsymbol) \bigr) A_f \\ &= (\boldsymbol,\dots, \boldsymbol)A_gA_f \end

となる。したがって， g\circ f の表現行列は A_gA_f である。

証明終

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