ベクトル解析：勾配と発散と回転
ベクトル解析における基本的な操作である勾配，発散，そして回転。 ここでは偏微分の知識を前提として，これらの計算方法と解釈を説明していきます。
微分作用素とは関数に対して作用して，その微分を計算する道具のようなものです。これはベクトルですから，\(x,y,z\)方向それぞれの単位ベクトルを\(\vec_x, \vec_y, \vec_z\)と書けば，\[ \nabla = \vec_x \dfrac + \vec_y \dfrac + \vec_z \dfrac \]と書くこともできます。ナブラはベクトルであることから，その記号の上に矢印を書く人もいますが，ここではめんどくさいので書かないでいきます。どちらにせよ意味は同じです。
勾配（grad）
1変数関数\(f(x)\)の場合変数がただ1つのとき，偏微分は普通の常微分と変わらないですから，\[ \nabla f = \vec_x \dfrac \]となります。これは高校数学でも出てくる普通の微分をベクトル化したものです。
図のように，微分はグラフの傾きを表しますが，勾配はその傾きを大きさに持つベクトルですから，向きを持ちます。マイナスの傾きのところでは，負方向に向くベクトルとなります。すると，勾配ベクトルは必ず関数値が大きいところを向くことになります。例えば，上のグラフの関数が山の断面だったとすると，山の頂上方向を向くベクトルが勾配ということになり，その傾きが急であればあるほどベクトルの大きさは大きくなります。
2変数関数\(f(x,y)\)の場合次に変数が2つの場合を考えます。このとき，勾配は\[ \nabla f(x,y) = \left( \dfrac, \dfrac \right) \]です。今回は2つの成分をもつベクトルとなります。まずは図を見てみてください。
- 向きは最大傾斜方向
- 各成分の大きさは各方向の「傾き」
となります。最大傾斜方向とは，その場所から少し動こうとしたときにもっとも曲面の傾きが急な方向という意味です。つまり，この勾配は高校数学で習った微分＝傾きという考え方を2次元以上の場合に拡張しているわけです。こう考えると，式だけ見るとややこしそうですが，傾きが急な方向を調べているんだくらいに思えてきませんか。
また，勾配ベクトルの絶対値は\[ |\nabla f(x,y)| = \sqrt< \left( \dfrac \right)^2 + \left( \dfrac \right)^2 > \]となって「傾きの大きさ」を表しています。2変数関数ですから，傾きを考える際も2成分考えなければいけないですからね。これを使うと，大雑把な議論ですが\(xy\)平面上を微小な距離\(ds\)だけ移動したときの関数\(f\)の変化量は\[ |\nabla f|ds = \sqrt< \left( \dfrac \right)^2 + \left( \dfrac \right)^2 >\, ds \]と見積もることができます。
3変数関数\(f(x,y,z)\)の場合最後に変数が3つの場合ですが，次のようになります。\[ \nabla f(x,y,z) = \left( \dfrac, \dfrac, \dfrac \right) \]これを図にすることは難しいです（4次元空間を描画する必要がある）ので，大雑把なイメージだけつかんでもらえれば大丈夫です。なお，3変数関数の例としては気温等があります。緯度，経度だけでなく高度によっても気温は変化しますから，3変数関数となります。図にすることはできませんが，意味合いとしては同じになります。
- ベクトルの向きは関数値が最も大きく変化する方向
- ベクトルの大きさは変化の割合
気温を含む多くの物理的観測量は，3次元空間中で変化しますから，実用上は3変数関数が一番多い気がします。勾配を取っていたら，その量が最も急激に変化する方向を取っているのだな，と思ってください。
発散（div）
見てわかる通り，ナブラとベクトル場の内積を発散というので，発散自体はスカラー量になります。よって発散はベクトル場の各成分をその軸方向に偏微分したものの和と言えます。ひとつ注意したいのは，\(A_x,A_y,A_z\)と書かれているのはそれぞれの成分であって，ひとつひとつが3変数関数であるということです。つまり，\[ \vec(x,y,z) = \begin A_x(x,y,z) \\ A_y(x,y,z) \\ A_z(x,y,z) \end \]ということです。このようなベクトル場の例は風速などがあります。緯度・経度・高度によって風の速さも風向きも異なりますから，上のように表現できるわけです。
発散という名前の由来- \(x\)の位置を通過する流量は\(A_x(x,y,z)\Delta y\Delta z\)
- \(x+\Delta x\)の位置を通過する流量は\(A_x(x+\Delta x,y,z)\Delta y\Delta z\)
となります。また，水は左から入って右から出ていきますから，この直方体から水が出ていく量は\[\< A_x(x+\Delta x,y,z) – A_x(x,y,z)\>\Delta y\Delta z\]と書けます。したがって，この出ていく量を直方体の体積で割れば，単位体積当たり出ていく量がわかります。それは，
\[ \dfrac\Delta y\Delta z> = \dfrac \] 0\)なら\(\vec\)が湧き出る所がある回転（rot）
発散はナブラとの内積でしたが，この回転はナブラとの外積です。そもそも外積自体計算がめんどくさいので，どうしても式が汚くなってしまいます。もちろん外積なので，回転自体はベクトル量になります。 回転を持たないベクトル場 回転を持つベクトル場まとめ
勾配 発散 回転 \(\nabla\)の作用するもの スカラー関数\(f\) ベクトル場\(\vec\) ベクトル場\(\vec\) 表記 \(\nabla f\) \(\nabla \cdot \vec\) \(\nabla \times \vec\) 別表記 \(\mathrmf\) \(\mathrm\vec\) \(\mathrm\vec\) 計算結果 ベクトル場 スカラー関数 ベクトル場 結果の解釈 最大傾斜方向 湧き出しor吸い込み 流れの回転関連記事
多重積分の極座標変換 フーリエ変換の定義と性質コメント
回転を持つベクトル場の例の (4) A =(2x,0) は (4) A =(0, 2x) ではないでしょうか？ たなかさん コメントありがとうございます。 ご指摘の通り、誤りでしたので修正いたしました。 修正ありがとうございました。 回転をもつ、もたないの４つずつの例示のおかげでものすごく理解しやすかったです。 自分でも例示の式から図を起こしていて気づきました。 コメントをどうぞ コメントをキャンセル Twitter 最近の投稿- 応力テンソルの導入
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