共役複素数の覚えておくべき性質

共役複素数（きょうやくふくそすう）についての入試対策として覚えておくべき性質を２つ紹介します。絶対値の話と方程式の解の話。

( a + b i ) + ( c + d i ) ‾ = ( a + c ) + ( b + d ) i ‾ = ( a + c ) − ( b + d ) i = ( a − b i ) + ( c − d i ) = ( a + b i ) ‾ + ( c + d i ) ‾ \begin &\overline\\ &=\overline\\ &=(a+c)-(b+d)i\\ &=(a-bi)+(c-di)\\ &=\overline+\overline \end ​ ( a + bi ) + ( c + d i ) ​ = ( a + c ) + ( b + d ) i ​ = ( a + c ) − ( b + d ) i = ( a − bi ) + ( c − d i ) = ( a + bi ) ​ + ( c + d i ) ​ ​

任意の複素数 z , w z,w z , w に対して，

• z − w ‾ = z ‾ − w ‾ \overline=\overline-\overline z − w ​ = z − w
• z × w ‾ = z ‾ × w ‾ \overline=\overline\times\overline z × w ​ = z × w
• z ÷ w ‾ = z ‾ ÷ w ‾ \overline=\overline\div\overline z ÷ w ​ = z ÷ w （ただし w ≠ 0 w\neq 0 w  = 0 ）

任意の複素数 z = a + b i z=a+bi z = a + bi に対して， z z ‾ z\overline z z は0以上の実数。

例えば， 2 + 3 i 2+3i 2 + 3 i とその共役な複素数 2 − 3 i 2-3i 2 − 3 i の積は，

( 2 + 3 i ) ( 2 − 3 i ) = 2 2 + 3 2 = 13 (2+3i)(2-3i)=2^2+3^2=13 ( 2 + 3 i ) ( 2 − 3 i ) = 2 2 + 3 2 = 13

より一般に， a + b i a+bi a + bi と a − b i a-bi a − bi の積は，

( a + b i ) ( a − b i ) = a 2 + b 2 ≥ 0 (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\geq 0 ( a + bi ) ( a − bi ) = a 2 + b 2 ≥ 0

となります。 a 2 + b 2 \sqrt a 2 + b 2

​ は z = a + b i z=a+bi z = a + bi の絶対値と呼ばれ ∣ z ∣ |z| ∣ z ∣ と書くことが多いです。つまり， z z ‾ = ∣ z ∣ 2 z\overline=|z|^2 z z = ∣ z ∣ 2 という式が成立します。

実数係数多項式 = 0 =0 = 0 という方程式に関して， z z z が解なら z ‾ \overline z も解である。

2次方程式 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 において，複素数 A + B i A+Bi A + B i が解なら A − B i A-Bi A − B i も解になります。これは解の公式からすぐにわかります（ただし， a , b , c , A , B a,b,c,A,B a , b , c , A , B は実数）。

3次方程式の場合に上の「重要な性質」を適用してみると， 実数係数の3次方程式は，3つの解が全て実数，または p + q i , p − q i , r p+qi,p-qi,r p + q i , p − q i , r （ただし， p , q , r p,q,r p , q , r は実数）と表せる ことがわかります。頻出です。

実数係数の n n n 次方程式 ∑ k = 0 n a k x k = 0 \displaystyle\sum_^na_kx^k=0 k = 0 ∑ n ​ a k ​ x k = 0 に対して， z z z が解のとき， ∑ k = 0 n a k z k = 0 \displaystyle\sum_^na_kz^k=0 k = 0 ∑ n ​ a k ​ z k = 0 となる。両辺の共役複素数をとって， ∑ k = 0 n a k z k ‾ = 0 \overline=0 k = 0 ∑ n ​ a k ​ z k ​ = 0

ここで「共役」と「足し算」は順番を交換できるので， ∑ k = 0 n a k z k ‾ = 0 \displaystyle\sum_^n\overline=0 k = 0 ∑ n ​ a k ​ z k ​ = 0

さらに「共役」と「かけ算」は順番を交換できるので， ∑ k = 0 n a k ‾ ⋅ z ‾ k = 0 \displaystyle\sum_^n\overline\cdot \overline^k=0 k = 0 ∑ n ​ a k ​ ​ ⋅ z k = 0

最後に， a k a_k a k ​ は実数なので a k ‾ = a k \overline=a_k a k ​ ​ = a k ​ を用いる： ∑ k = 0 n a k z ‾ k = 0 \displaystyle\sum_^na_k\overline^k=0 k = 0 ∑ n ​ a k ​ z k = 0

これは z ‾ \overline z がもとの方程式の解であることを表している。

証明の途中で a k a_k a k ​ の共役複素数が a k a_k a k ​ であることを用いているので 実数係数という条件は必須 です。

• 有理数係数の方程式に関しても似たような定理が成立します。→共役無理数に関する二つの定理
• 共役複素数も方程式の解になるという性質は東大2019年大問6で効いてきます。

東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る