サイクロイド曲線のグラフと面積・体積・長さ
サイクロイドについて，グラフの描き方から，面積，回転体の体積，長さを導きます。
サイクロイド曲線と x x x 軸で囲まれた部分の面積 S S S は，公式より， S = ∫ 0 2 π a y d x S = \int_0^ y dx S = ∫ 0 2 πa y d x で計算できます。これを，置換積分を用いて θ \theta θ で積分していきます。 d x d θ = a ( 1 − cos θ ) \dfrac = a(1-\cos\theta) d θ d x = a ( 1 − cos θ ) であり， x x x が 0 → 2 π a 0 \rightarrow 2\pi a 0 → 2 πa となるとき， θ \theta θ は 0 → 2 π 0 \rightarrow 2\pi 0 → 2 π となります。よって， S = ∫ 0 2 π a y ( d x d θ ) d θ = ∫ 0 2 π a ( 1 − cos θ ) ⋅ a ( 1 − cos θ ) d θ = a 2 ∫ 0 2 π ( 1 − 2 cos θ + cos 2 θ ) d θ \begin S &= \int_0^ y \left(\dfrac\right)d\theta \\ &= \int_0^ a(1-\cos\theta) \cdot a(1-\cos\theta)d\theta \\ &= a^2 \int_0^ (1-2\cos\theta + \cos^2\theta)d\theta \\ \end S = ∫ 0 2 πa y ( d θ d x ) d θ = ∫ 0 2 π a ( 1 − cos θ ) ⋅ a ( 1 − cos θ ) d θ = a 2 ∫ 0 2 π ( 1 − 2 cos θ + cos 2 θ ) d θ ここで， cos 2 θ = 1 + cos 2 θ 2 \cos^2 \theta= \dfrac cos 2 θ = 2 1 + cos 2 θ により S = a 2 ∫ 0 2 π ( 1 − 2 cos θ + 1 + cos 2 θ 2 ) d θ = a 2 ∫ 0 2 π ( 3 2 − 2 cos θ + cos 2 θ 2 ) d θ = a 2 [ 3 2 θ − 2 sin θ + sin 2 θ 4 ] 0 2 π = 3 π a 2 \begin S &= a^2 \int_0^ \left(1-2\cos\theta + \dfrac\right)d\theta \\ &= a^2 \int_0^ \left(\dfrac-2\cos\theta + \dfrac\right)d\theta \\ &= a^2 \left[\dfrac\theta -2\sin\theta + \dfrac\right]_0^\\ &= 3\pi a^2 \end S = a 2 ∫ 0 2 π ( 1 − 2 cos θ + 2 1 + cos 2 θ ) d θ = a 2 ∫ 0 2 π ( 2 3 − 2 cos θ + 2 cos 2 θ ) d θ = a 2 [ 2 3 θ − 2 sin θ + 4 sin 2 θ ] 0 2 π = 3 π a 2
これより， S S S は転がる円の面積のちょうど 3 3 3 倍であることがわかります。
回転体の体積を求める公式： V = ∫ a b π < f ( x ) >2 d x V = \int_a^b \pi \^2dx V = ∫ a b π < f ( x ) >2 d x を使うと， x x x 軸周りの回転体の体積 V V V は V = π ∫ 0 2 π a y 2 d x = π ∫ 0 2 π a 2 ( 1 − cos θ ) 2 ⋅ a ( 1 − cos θ ) d θ = π a 3 × ∫ 0 2 π ( 1 − 3 cos θ + 3 cos 2 θ − cos 3 θ ) d θ \begin V &= \pi \int_0^y^2 dx\\ &= \pi \int_0^a^2(1-\cos\theta)^2 \cdot a(1-\cos\theta) d\theta\\ &= \pi a^3 \times \\ &\int_0^(1-3\cos\theta +3\cos^2\theta - \cos^3 \theta)d\theta \end V = π ∫ 0 2 πa y 2 d x = π ∫ 0 2 π a 2 ( 1 − cos θ ) 2 ⋅ a ( 1 − cos θ ) d θ = π a 3 × ∫ 0 2 π ( 1 − 3 cos θ + 3 cos 2 θ − cos 3 θ ) d θ ここで， cos 2 θ = 1 + cos 2 θ 2 cos 3 θ = cos 3 θ + 3 cos θ 4 \begin \cos^2 \theta &= \dfrac \\ \cos^3 \theta &= \dfrac \end cos 2 θ cos 3 θ = 2 1 + cos 2 θ = 4 cos 3 θ + 3 cos θ により V = π a 3 ∫ 0 2 π ( 5 2 − 15 4 cos θ + 3 2 cos 2 θ − 1 4 cos 3 θ ) d θ = π a 3 [ 5 2 θ − 15 4 sin θ + 3 4 sin 2 θ − 1 12 sin 3 θ ] 0 2 π = 5 π 2 a 3 \begin V &= \pi a^3 \int_0^\left(\dfrac-\dfrac\cos\theta+\dfrac\cos 2\theta - \dfrac\cos 3 \theta\right)d\theta \\ &= \pi a^3 \left[\dfrac\theta -\dfrac\sin\theta + \dfrac\sin 2 \theta - \dfrac\sin 3\theta\right]_0^\\ &= 5 \pi^2 a^3 \end V = π a 3 ∫ 0 2 π ( 2 5 − 4 15 cos θ + 2 3 cos 2 θ − 4 1 cos 3 θ ) d θ = π a 3 [ 2 5 θ − 4 15 sin θ + 4 3 sin 2 θ − 12 1 sin 3 θ ] 0 2 π = 5 π 2 a 3 となります。
曲線の長さを求める公式： L = ∫ α β f ′ ( t ) 2 + g ′ ( t ) 2 d t L = \int_\alpha^\beta \sqrtdt L = ∫ α β f ′ ( t ) 2 + g ′ ( t ) 2
d t を使うと，サイクロイド曲線の長さ L L L は L = ∫ 0 2 π ( d x d θ ) 2 + ( d y d θ ) 2 d θ = ∫ 0 2 π a 2 ( 1 − cos θ ) 2 + a 2 sin 2 θ d θ = ∫ 0 2 π a 2 − 2 cos θ d θ \begin L &= \int_0^ \sqrtd\theta \\ &= \int_0^ \sqrtd\theta \\ &= \int_0^ a\sqrtd\theta \\ \end L = ∫ 0 2 π ( d θ d x ) 2 + ( d θ d y ) 2
d θ = ∫ 0 2 π a 2 ( 1 − cos θ ) 2 + a 2 sin 2 θ
d θ = ∫ 0 2 π a 2 − 2 cos θ
d θ ここで， 1 − cos θ = 2 sin 2 θ 2 1-\cos\theta = 2 \sin^2 \dfrac 1 − cos θ = 2 sin 2 2 θ を用いると， L = ∫ 0 2 π a 2 ( 1 − cos θ ) d θ = ∫ 0 2 π a 2 ⋅ 2 sin 2 θ 2 d θ = ∫ 0 2 π 2 a ∣ sin θ 2 ∣ d θ \begin L &= \int_0^ a\sqrtd\theta \\ &= \int_0^ a\sqrtd\theta \\ &= \int_0^ 2a\left|\sin\dfrac\right|d\theta \\ \end L = ∫ 0 2 π a 2 ( 1 − cos θ )
d θ = ∫ 0 2 π a 2 ⋅ 2 sin 2 2 θ
d θ = ∫ 0 2 π 2 a ∣
∣ d θ 0 ≦ θ ≦ 2 π 0 \leqq \theta \leqq 2\pi 0 ≦ θ ≦ 2 π より 0 ≦ θ 2 ≦ π 0 \leqq \dfrac \leqq \pi 0 ≦ 2 θ ≦ π であるから， sin θ 2 ≧ 0 \sin\dfrac \geqq 0 sin 2 θ ≧ 0
よって絶対値がそのまま外せて L = ∫ 0 2 π 2 a sin θ 2 d θ = 2 a [ − 2 cos θ 2 ] 0 2 π = 8 a \begin L &= \int_0^ 2a\sin\dfracd\theta \\ &= 2a \left[-2\cos \dfrac\right]_0^ \\ &= 8a \end L = ∫ 0 2 π 2 a sin 2 θ d θ = 2 a [ − 2 cos 2 θ ] 0 2 π = 8 a となります。
サイクロイドの曲線の長さには π \pi π が出てきません。半径の 8 8 8 倍という綺麗な結果になります。
1 − cos θ \sqrt 1 − cos θ
が積分に出てきて少し戸惑うかもしれませんが，半角の公式を使うことでルートを外せる ことを知っておきましょう。また， ルートを外す際には絶対値記号をつける ことを忘れずに。
公立地方進学校出身。高校時代は部活動に勤しみ，合間を縫って勉強を進めた。 受験生時代には毎日12時間以上の勉強を続け，東京大学理科一類に現役合格。 大学でも数学・物理を得意とし，情報系の学科に進みつつも，独学で勉強を続けている。 学びTimesでは主に「高校数学の美しい物語」「高校生から味わう理論物理入門」の記事執筆・修正業務に尽力している。
- 準備：サイクロイドのグラフ
- サイクロイドの面積を積分で求める
- サイクロイドの回転体の体積を積分で求める
- サイクロイドの長さを積分で求める