波数空間での和を積分に変換する方法

波数空間での和を積分に変換する方法 (3)のような周期的境界条件を満足する解としては、 \[\phi_\b (\b) = \exp\left(\frac (n_xx+n_yy+n_zz)\right)\tag\] がある。ここまで説明しておいて、最初の式に戻ろう。 \[\sum_\bf(\b)\tag\]

(3)のような周期的境界条件を満足する解としては、 \[\phi_\b(\b) = \exp\left(\frac(n_xx+n_yy+n_zz)\right)\tag\] がある。ここまで説明しておいて、最初の式に戻ろう。 \[\sum_\bf(\b)\tag\] を積分によって近似する方法を考えたいのだった。(5)式は許されるkについて離散的に和をとる、という式なので、周期的境界条件を取り入れたときには、 \[\sum_\bf(\b)=\sum_\bf(\frac,\frac,\frac)\]と書き直せる。さっきも説明したように、\(L\)というのは最終的に無限大に飛ばしたいものだった。だから、\(\frac\)という変数はほとんど連続的に変化するとみなすことにする。

まあともかくこれで、当初の目標であった、 \[\sum_\bf(\b) \to \frac\int f(\b)d\b \tag\] を示す事ができた。さっきもいったように、\(L\to\infty\)を考えることによって発散してしまうが、一般的には単位体積あたりの値が問題になることが多いので、 \[\frac\sum_\bf(\b) \to \frac\int f(\b)d\b \tag\] という計算をしてやる。こうすると、発散の問題はなくなるのだ。

4.まとめ

\[\sum_\bf(\b) \to \frac\int f(\b)d\b \tag\] という式は、周期的境界条件を考えて、\(L\)が非常に大きいところでの近似を取ったものだということがわかった。

例えば状態密度を考えるときに、 \[\sum_\b\delta(\epsilon-\epsilon_)\] というのを計算することがあるが、考えている系が非常に大きいときには、\(\b\)がほとんど連続的になってしまう。こういうときには、積分で評価したほうが計算が楽だから、(1)を使って考えるのだ。