オイラーの多面体定理の意味と証明

オイラーの多面体定理という美しい定理とその証明です。４つのステップに分けて順々に説明します。

3次元だと考えにくいので，2次元に展開して考えます。イメージとしては， 「多面体の面を1つ選んで，その面を取り除き，その穴から手を突っ込んで押し広げながら潰す」 感じです。このとき，頂点や辺の数は変わらず，面を1つ取り除くので，展開された平面図形において， V − E + F = 1 V-E+F=1 V − E + F = 1 を示せばよいわけです。立方体の図の例では，青い辺で囲まれた面を取り除いて展開しています。

得られた平面図形には様々な多角形が含まれており，統一的に議論したいので三角形に直します。三角形でない図形は適当に対角線を引いて三角形に分割します。対角線を引くときに，面と辺の数が1つずつ増えるので V − E + F V-E+F V − E + F の値は変わりません。

よって，分割後の図形で V − E + F = 1 V-E+F=1 V − E + F = 1 を示せばよいわけです。

得られた図形の V − E + F V-E+F V − E + F の値を保ったまま外側の三角形から順々に消していきます。

操作1：外側と1辺を共有する三角形を除くと辺と面が1つずつ減るので， V − E + F V-E+F V − E + F は変わりません。

操作2：外側と2辺を共有する三角形を除くと頂点と面が1つずつ減り辺が2つ減るので， V − E + F V-E+F V − E + F は変わりません。

三角形の数は有限なので， この操作を繰り返し行うといつかは三角形1つになります。 （厳密には操作の途中で図形が分断されるのを防ぐため，操作2を操作1より優先して行う必要があります）

三角形では，頂点3，辺3，面1より， V − E + F = 1 V-E+F=1 V − E + F = 1 が成立します。

東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る