円錐と内接球・その１

問題下の図のように、底面の半径が \(28cm\),母線の長さが \(100cm\) の円錐に球が内接して

他にわかることは、三角形 \(PBM\) に三平方の定理を用いて \(PM\) の長さを求めることです。 \(PB:BM=100:28=25:7\) なので、 \(\displaystyle \frac\) 倍に縮小した直角三角形で計算すると、 \(x^2+7^2=25^2\) \(x\) は \(0\) より大きいので、 \(x=24\) と求まります。つまり、\(PM=24×4=96\) です。

ここから先は、\(2\) 通りの解き方があります。「相似」か「三平方の定理」です。「相似」が圧倒的に楽なので、そちらを使いましょう。

三角形 \(PMB\) と三角形 \(PNO\) が相似です。三角形 \(PNO\) を三角形 \(PMB\) と同じ向きにぬきだして考えましょう。

この\(2\) つの三角形は相似であり、直角をはさむ \(2\) 辺の辺の比が \(24:7\) です。 ※相似比ではないですよ！

よって\(r=NO=72×\displaystyle \frac=21(cm)\) これが求める内接円の半径です。

ちなみに、 \(PO=96-21=75\) ですが、三角形 \(PNO\) の辺の比が \(25:24:7\) であることと一致します。矛盾なしです。

※三角形 \(PMB\) と三角形 \(PNO\) が相似で相似比が \(96:72=4:3\) からも、もちろん解けます。

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