【二項定理】応用問題の解き方をわかりやすく解説！（入試レベルの練習問題つき）

【二項定理】応用問題の解き方をわかりやすく解説！（入試レベルの練習問題つき） $ \displaystyle \cdot − \over \cancel > \cdot 4 >$ $ \displaystyle > $ $ = 1 − 32 + 168 − 224 + 70 $ 二項定理 × 整数の応用問題 2つ目は「二項定理

$ \displaystyle < \require= 1 − 8 \cdot 4 + < \cancel^4 \cdot 7 \over \cancel > \cdot < \bcancel^2 \cdot 3 \over \bcancel > − \over \cancel > \cdot 4 >$ $ \displaystyle< + \ < \cancel^2 \cdot 7 \cdot \bcancel \cdot 5 \over \cancel \cdot \bcancel > > $

$ = 1 − 32 + 168 − 224 + 70 $

二項定理 × 整数の応用問題

2つ目は「 二項定理 」から整数を求めるパターンの 応用問題 です。

【例題2】$n$ を自然数とする。$ \ _nC_ − \ _nC_1 +\ _nC_2 − \cdots $ $+ \, (-1)^ \ _nC_ $ $+ \, (-1)^n \ _nC_n $ の値を求めよ。 [類 08 中央大]

$ $ $ \ _n C_0 − \ _nC_1 + \ _nC_ − \cdots + (−1)^ \ _nC_ \\ + (−1)^ \ _nC_ $

$ $ $ =$ $ _n C_0 + \ _nC_1 (−1) + \ _nC_ + \cdots + \ _nC_ (−1)^ \\ + \ _nC_ (−1)^ $

$= $ $ _n C_0 1^n (−1)^0 + \ _nC_1 1^ (−1)^ \\ + \ _nC_ 1^ (−1)^ + \cdots \\ + \ _nC_ 1^1 (−1)^ + \ _nC_ 1^0 (−1)^ $

∴ $ \ _n C_0 − \ _nC_1 + \ _nC_ − $ $ \cdots + (−1)^ \ _nC_ $ $ + (−1)^ \ _nC_ = 0 $

【例題3】$m$ を自然数とする。$ \ _mC_ + \ _mC_1 $ $+\ _mC_2 + \cdots $ $+ \ _mC_ $ $+ \ _mC_m $ の値を求めよ。 [11 関西大]

$= $ $\ _m C_0 1^m \cdot 1^ + \ _mC_ 1^ \cdot 1^ \\ + \ _mC_ 1^ \cdot 1^ + \cdots \\ + \ _mC_ 1^1 \cdot 1^ + \ _nC_ 1^0 \cdot 1^ $

∴ $ \ _mC_ + \ _mC_1 +\ _mC_2 + \cdots $ $+ \ _mC_ $ $+ \ _mC_m = 2^m $

二項定理 × 最大値の応用問題

3つ目は「 二項定理 」と「 最大値 」を融合した 応用問題 です。

【例題4】$ (x+2)^ $ の展開式における最大の係数を求めよ。 [神奈川大]

二項定理で「係数」を求めるパターンの問題 では、一般項を利用します。

$ (a + b)^n $ の展開式の一般項は

いつも通り $\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]$ と $\bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]$を分けておきます。

次に、$\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]$ の部分を関数 $f(r)$ とおきます。

ここからは「 確率の最大値 」を求めるパターンの問題と同じ解法を使います。

「確率Pnが最大になるnの値」を求める問題がイマイチわからない「玉やカードを同時に（一度に）取り出す問題」「サイコロとかの反復試行の問題」で一番ラクな解き方をわかりやすく教えてほしい！こういったお悩みを解消します。 &nb[…]

関数 $f(r)$ の最大値を求めるために、$f(r+1)$ を出しておきましょう。

$f(r)$ の式の「$r$」を「$r+1$」に置き換えます。（$r$ の数字が 1つ増える）

ここから $f(r)$ の最大値を求める方法は、以下の 2通りあります。

差「$ f(r+1)−f(r)＞0 $」となる $r$ を求める
比「$ \displaystyle < < f(r+1) \over f(r) >＞ 1 > $」となる $r$ を求める

解き方① $ f(r+1)−f(r)＞0 $ となる $r$ を求める

$ \displaystyle < = \over (r+1)! \, (10-r)!> \cdot \left( \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:] < 19-3r >\right) > $ $(0≦r≦9)$

$ $ $ \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]< 19-3r >＞ 0 $

$r$ は $0≦r≦9$ をみたす整数なので

$ \color $ のとき $ \displaystyle < < f(r+1) \over f(r) >＞ 1 \ \Leftrightarrow \ \color < f(r+1)＞ f(r) >> $ $ \color $ のとき $ \displaystyle < < f(r+1) \over f(r) >＜ 1 \ \Leftrightarrow \ \color < f(r+1)＜ f(r) >> $

$ \begin r = 0, 1, 2, \cdots , 6 \enspace \, のとき \, \, f(r)＜f(r+1) \, （単調増加）\\ \\ r = 7, 8, 9 \enspace \enspace \enspace \enspace \enspace \, \, のとき \, \, f(r)＞f(r+1) \, （単調減少）\\ \end$

$ f(0)＜f(1)＜f(2)＜\cdots＜f(6)＜\color＞f(8) $ $＞f(9)＞f(10) $

【解答①】を見る

$ \displaystyle < = \over (r+1)! \, (10-r)!> \cdot \left( \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:] < 19-3r >\right) > $ $(0≦r≦9)$

∴ $ \begin r = 0, 1, 2, \cdots , 6 \enspace \, のとき \, \, f(r)＜f(r+1) \\ \\ r = 7, 8, 9 \enspace \enspace \enspace \enspace \enspace \, \, のとき \, \, f(r)＞f(r+1) \\ \end$

解き方② $ \displaystyle < < f(r+1) \over f(r) >＞ 1 > $ となる $r$ を求める

$r$ は $0≦r≦9$ をみたす整数なので

$ f(0)＜f(1)＜f(2)＜\cdots＜f(6)＜\color＞f(8)$ $＞f(9)＞f(10) $

【解答②】を見る

∴ $ \begin r = 0, 1, 2, \cdots , 6 \enspace \, のとき \, \, f(r)＜f(r+1) \\ \\ r = 7, 8, 9 \enspace \enspace \enspace \enspace \, \, のとき \, \, f(r)＞f(r+1) \\ \end$

二項定理 × 数列の応用問題

二項定理 × 証明の応用問題

2023年1月18日

【相加・相乗平均の関係】変数が3つ以上のパターン（使い方＆入試問題）

2023年2月4日

【相加・相乗平均の関係】最小値がなぜ求められるの？公式の意味を図でわかりやすく解説＆証明

2022年9月7日

【高校数学】三角関数 sin cos tan「加法定理」の覚え方【覚えやすい語呂合わせ＆問題つき】

2022年10月31日

【高校数学】多項定理の公式・使い方をわかりやすく解説！【基本〜応用・入試レベルまで対応】

コメントを書くコメントをキャンセル

プロフィール

中3 県内模試の偏差値 45 → 60 にUP！

高1 学年360人中200位台 → 17位 にUP！

高2 全国模試の偏差値 48.1 → 70.4 にUP！

高2 平均点以下 → 学年2位 にUP！

高3 横浜国立大・名古屋大・慶應大合格など

・河合塾全統記述模試英語偏差値82.5 など

【二項定理】応用問題の解き方をわかりやすく解説！（入試レベルの練習問題つき）

二項定理 × 整数 の応用問題

二項定理 × 最大値 の応用問題

二項定理 × 数列 の応用問題

二項定理 × 証明 の応用問題