つくたろうのブログ

こんにちは、つくたろうです。 今回は、２リンク・３軸マニピュレータにおける逆運動学の式の導出について紹介します。

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【ロボット工学】３軸リンクにおける逆運動学の式の導出についてわかりやすく解説【メカトロニクス】

こんにちは、つくたろうです。 今回は、２リンク・３軸マニピュレータにおける逆運動学の式の導出について紹介します。

逆運動学とは

こんにちは、つくたろうです。 今回は、２リンク・３軸マニピュレータにおける逆運動学の式の導出について紹介します。

長さの分かっているリンクで構成されたマニピュレータについて、順運動学が「リンクの角度を与えた時にマニピュレータの手先位置の座標を得る」というものであることに対して、逆運動学は「マニピュレータの手先位置の座標を与えたときに、各リンクの角度を求める」というものになります。

原点に軸があって、マニピュレータの手先位置は とします。リンクの長さ 、回転角を とします。

このとき、簡単な三角関数を考えれば以下の式が成り立つことは皆さん分かると思います。 \begin l_x = l \cos \theta \\ l_y = l \sin \theta \end ここで、 を の式で表現するのが順運動学、 を の式で表すのが逆運動学です。

この例については、上の三角関数の式から、 順運動学： \begin l_x = l \cos \theta \\ l_y = l \sin \theta \end 逆運動学： \begin \displaystyle \theta = \arctan< \left( \frac \right)> \end と、ともに簡単に求められると思いますが、軸やリンクが増えたときにも同じことができることが望ましいわけです。

３軸・２リンクのマニピュレータの逆運動学の式の導出

こんにちは、つくたろうです。 今回は、２リンク・３軸マニピュレータにおける逆運動学の式の導出について紹介します。

問題設定

※数式が横に切れているときは、スライドすると先まで見ることができます。また、スマホを横向きにして見ると画面内に式全体が収まります。

２リンク３軸マニピュレータ模式図 ３次元の座標系での模式図は上の通りで、図中の を、 の式で表します。

また、図二枚目の とは、 を満たす、仮の座標軸です。計算をわかりやすくするために導入しています。

逆運動学の式の導出

まず、先の模式図について三角関数での座標表記を考えることで、以下の式が得られます： \begin x = ( l_1 \cos + l_2 \cos) \cos & \cdots (1) \\ y = l_1 \sin + l_2 \sin & \cdots (2)\\ z = ( l_1 \cos + l_2 \cos) \sin & \cdots (3) \end

これらの 式をまとめて式 とします。

この式 において、先ほど導入した を満たす仮の座標 を用いると、上の を以下のように表すことができます： \begin y = l_1 \sin + l_2 \sin & \cdots\\ S = l_1 \cos + l_2 \cos & \cdots \end

これらの 式をまとめて式 とします。

上記の式 のうち式 において右辺同士、左辺同士でそれぞれ割ることで以下の式を得る： \begin \displaystyle \cfrac = \cfrac>> = \tan \end したがって、 は、以下の通り。 \begin \displaystyle \theta_0 = \arctan & \cdots (a) \end

上記の式 を変形して、 \begin y - l_1 \sin &=& l_2 \sin \\ S - l_1 \cos &= & l_2 \cos \end

と同様に式 を、今度は以下のように変形します： \begin y - l_2 \sin &=& l_1 \sin \\ S - l_2 \cos &= & l_1 \cos \end

この変形は「 の時と、 と の添え字が入れ替わるだけ 」 であることが分かると思います。

したがって、 あとは を求めるときと同じプロセスを行ってください。

導出結果

おわりに

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