三角形の内接円の方程式

定期試験・大学入試に特化した解説。内心が3辺からの距離が等しい点であることと正領域・負領域の考え方を利用して絶対値をはずす。

内心は3辺からの距離が等しい点である(点と直線の距離の公式の利用). 正領域・負領域の考え方を利用して,\ 絶対値をはずす.> 内心$(a,\ b)$は,\ ①の正領域,\ ②の負領域,\ ③の正領域にある. 内心の座標は,\ 角の二等分線の交点として求めることもできるが,\ 回りくどくなる. 正領域・負領域の考え方を利用する解法を習得してほしい. まず,\ 三角形を作る3直線の方程式を求める. 点と直線の距離の公式の利用を見越し,\ 3直線は一般形で表しておく.> 認知度は低いが,\ 2点の座標から直接的に一般形の直線の方程式を求める公式>を使うのもよい. 2点(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)を通る直線の方程式 (y_2-y_1)(x-x_1)-(x_2-x_1)(y-y_1)=0> 中心を文字でおいて点と直線の距離の公式を利用し,\ 3直線までの距離が等しい条件を立式する.> 点(x_1,\ y_1)と直線ax+by+c=0の距離の公式 ax_1+by_1+cではずすのが本問最大のポイントである. 平面が直線f(x,\ y)=0で2分割されるとき,\ 点と直線の距離の公式より,\ 絶対値の中身はf(x,\ y)に中心(a,\ b)を代入したものとなる. よって,\ 中心(a,\ b)が各直線の正領域・負領域のどちら側にあるかで絶対値の中身の符号がわかる.> 中心(a,\ b)は,\ 直線AB>\,(①)の正領域・負領域のどちら側にあるだろうか. これは,\ 直線①に関して中心(a,\ b)と同じ側にある適当な1点を代入して確認>できる. 例えば,\ 中心(a,\ b)と同じ側にある点C>(21,\ 0)を4x-3yに代入してみる. \ 中心(a,\ b)は直線①の正領域側にある>とわかる. 同様に,\ 点A>(0,\ 0)は,\ 直線BC>(②)に関して中心(a,\ b)と同じ側にある. 中心(a,\ b)は直線②の負領域側にある.> よって,\ 8a+15b-168>=-\,8a-15b+168\ と絶対値をはずすことができる. また,\ b>0は図形的に明らかである. 元々,\ 中心(a,\ b)と直線y=0の距離は,\ 公式を使うまでもなく中心のy座標bに等しい. 絶対値さえはずせば,\ 後は単なる連立方程式である.0、AB