変位と速度と加速度

変位と速度と加速度 グラフの傾きが速度になるというのは中学の理科でも学んだはずです。14秒までは速度が一定なので傾きも一定です。その後 1m/s² の加速度が加えられていきます。1m/s² というのは1秒に 1m/s ずつ速度が増すという意味です。時刻が 15秒のときの速度が 2m/s になり、 16秒のときの速度が 3m/s になり、 17秒のときの速度が 4m/s になり、

グラフの傾きが速度になるというのは中学の理科でも学んだはずです。14秒までは速度が一定なので傾きも一定です。その後 1m/s² の加速度が加えられていきます。1m/s² というのは1秒に 1m/s ずつ速度が増すという意味です。時刻が 15秒のときの速度が 2m/s になり、 16秒のときの速度が 3m/s になり、 17秒のときの速度が 4m/s になり、 18秒のときの速度が 5m/s になり、 19秒のときの速度が 6m/s になります。

14秒までのグラフは直線なので傾きは簡単に導き出せますが、それ以降のグラフは曲線なので傾きを導き出すのは難しいです。数学によれば曲線の傾きはそれぞれの点に接する接線の傾きです。そしてそれはごくごく微小な変位差 Δx をごくごく微小な時間差 Δt で割ったものです。そしてこの傾きのことを瞬間の速度といいます。

時刻が 15秒のときの瞬間の速度が 2m/s であり、 16秒のときの瞬間の速度が 3m/s であり、 17秒のときの瞬間の速度が 4m/s であり、 18秒のときの瞬間の速度が 5m/s であり、 19秒のときの瞬間の速度が 6m/s です。

左図は速度と時間の関係を表す v - t グラフです。14秒までは 1m/s の一定の速度で進んでいき、その後1秒ごとに速度が 1m/s ずつ増していき、19秒で 6m/s の速度になります。

このグラフの傾きは加速度を表します。14秒までは傾きが 0 です。加速度が 0 ということです。14秒から19秒までは傾きが 1 です。加速度が 1m/s² ということです。左図は曲線ではないですが曲線の場合の傾きはそれぞれの点に接する接線の傾きであり、それはごくごく微小な速度差 Δv をごくごく微小な時間差 Δt で割ったものです。そしてこの傾きのことを瞬間の加速度といいます。

a - t グラフはあまり用いられることは無いのですが、一応説明しておきますと、左図は時刻14秒までは加速度が 0 で、それ以降は加速度が 1m/s² であることを示しています。

変位 → （微分） → 速度 → （微分） → 加速度

変位 ← （積分） ← 速度 ← （積分） ← 加速度

それぞれのグラフで接線の傾きを調べて瞬間の速度や瞬間の加速度を導き出すことは （微分） することに相当します。

また、速度を （積分） して変位を導き出すことは v - t グラフにおいて曲線と t 軸に挟まれる部分の面積を求めることに相当します。

大ざっぱに面積を計算すると x = 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+2+3+4+5+6 = 34 となり、時刻19秒での変位は 約34m であることを示しています。

また、加速度を （積分） して速度を導き出すことは a - t グラフにおいて曲線と t 軸に挟まれる部分の面積を求めることに相当します。

大ざっぱに面積を計算すると v = 0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+1+1+1+1+1 = 5 となり、時刻19秒での速度の増加は 約5m/s であることを示しています。始めの速度が 1m/s ですので時刻19秒での実際の速度は 1+5 = 6m/s です。

v - t グラフを見ながら大ざっぱに計算すると、平均の速度 = (1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+2+3+4+5+6)÷19 = 34÷19 ≒ 1.79 となりますが、

この計算は左図の x - t グラフにおいて赤線の傾きを求めることと同じです。

●高校物理では、ベクトルの考え方が導入されているので、平均の速度は 0 です。A地点に戻ってきているので、変位差が 0 であるからです。

●中学理科では、スカラーでしたから、平均のスピードは時速48kmです。 中学理科では平均スピードは、 （往復の道のり） を （往復の時間） で割ったものです。 往きに掛かった時間を t [h] とします。 （往復の道のり） = 40[km/h] × t [h] × 2 = 80 t （ここで往復の道のり = 40[km/h]× t [h] + 60[km/h]× t [h] とすると誤りです。帰りの時間は t ではないからです。帰りの時間は 40 t ÷60 [h] です。往きで確定している片道の距離 40 t [km] を帰りの時速 60[km/h] で割ったものです。帰りの方が時速が速いので短い時間で済みます。帰りの道のりは 60[km/h]×(40 t ÷60)[h] = 40× t [km] なのです。ですので往復の道のりを 40[km/h]× t [h]×2 としたのです。中学理科の有名なひっかけ問題です。） （往復の時間） = t [h] + (40 t ÷60) [h] = (100/60) t [h] よって車の平均スピードは、 （往復の道のり） ÷ （往復の時間） = 80 t [km] ÷ (100/60) t [h] = 4800/100[km/h] = 48[km/h] です。往きが時速40kmで帰りが時速60kmだから足して2で割って時速50kmだ、と考えてしまうと、ひっかけポイントにハマったことになってしまいます。往きの方が車を運転している時間が長いので平均の時速は往きの値に近くなるのです。

a - t グラフを見ながら大ざっぱに計算すると、平均の加速度 = (0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+1+1+1+1+1)÷19 = 5÷19 ≒ 0.263となりますが、

この計算は左図の v - t グラフにおいて赤線の傾きを求めることと同じです。

いま、直線において右向きを正とします。