ばね振り子の力学的エネルギー

ばね振り子の力学的エネルギー ばね定数 k [N/m] のばねの上端を固定し、下端に質量 m [kg] のおもりを付けたばね振り子を、鉛直に吊るして静止させます。このとき自然長からの伸びが d [m] であるとすると、重力（ mg ）と弾性力（ kd ）がつり合っているのだから、 mg = kd であります。さらにこの位置から a [m]

ばね定数 k [N/m] のばねの上端を固定し、下端に質量 m [kg] のおもりを付けたばね振り子を、鉛直に吊るして静止させます。このとき自然長からの伸びが d [m] であるとすると、重力（ mg ）と弾性力（ kd ）がつり合っているのだから、 mg = kd であります。さらにこの位置から a [m] だけ引き上げて離すと、つり合いの位置を中心にして、振幅 a [m] の往復運動をします。つり合いの位置O'点からおもりの任意の位置までの変位を y [m] とします。重力による位置エネルギーの基準点は自然長のO点とします。

= 0 + mg ( a - d ) + \(\large>\) k ( a - d ) 2

= mga - mgd + \(\large>\) k ( a 2 - 2 ad + d 2 )

= mga - mgd + \(\large>\) ka 2 - kad + \(\large>\) kd 2 mg = kd を代入して

= \(\large>\) mv y 2 + mg ( y - d ) + \(\large>\) k ( y 2 - 2 yd + d 2 )

= \(\large>\) mv y 2 + mgy - mgd + \(\large>\) ky 2 - kyd + \(\large>\) kd 2 mg = kd を代入して

= 0 + mg (- a - d ) + \(\large>\) k ( a + d ) 2

= - mga - mgd + \(\large>\) k ( a 2 + 2 ad + d 2 )

= - mga - mgd + \(\large>\) ka 2 + kad + \(\large>\) kd 2 mg = kd を代入して

力学的エネルギー保存の法則より E A = E Y = E O = E O' = E B です。 つまり、①式 = ②式 = ③式 = ④式 = ⑤式 です。

③式以外の各式をよく見ますと - \(\large>\) mgd という項が共通しています。 m も g も d もはじめに定めた定数ですので - \(\large>\) mgd は定数であり、一定です。

ですので、この項を打ち消すために各式に \(\large>\) mgd を加えても、等式が成り立ちます。

つまり、 鉛直のばね振り子は、自然長を中心としてではなく、つり合いの位置を中心とした水平のばね振り子 とみなすことができます。本項で一番言いたいのはコレです。補足ページ、『ばね振り子』項の『自然長の位置を原点にとると』もご参照ください。

①'式 = ②'式 = ③'式 = ④'式 = ⑤'式 であることを利用して各点でのおもりの速さを求めてみます。

A点でのおもりの速さは v A = 0 です。自明です。

∴ mv y 2 + ky 2 = ka 2

∴ mv y 2 = ka 2 - ky 2

y = 0 のとき、（つまりこれはO'点のとき）

であり、下で示す v O' の値と一致します。

y = a のとき、（つまりこれはA点のとき）

であり、上で示した v A の値と一致します。

∴ mv O 2 + mgd = ka 2

しかし実際には d = 0 となることはありません。おもりを付けて鉛直に吊るせば必ずばねは伸びるので。

この値はY点でのおもりの速さの y = 0 の場合と一致します。また、水平ばね振り子におけるO点でのおもりの速さにも一致します。

B点でのおもりの速さはA点と同じく v B = v A = 0 です。