【数学小話】続 ３：４：５の直角三角形の鋭角は何度？

前回 【数学小話】３：４：５の直角三角形の鋭角は何度？ 今回は高校生向けです。春休みに早く突入して暇を持て余す高校生は、ぜひ式を一つ一つ追いながらチャレンジしてみてください。 前回は３：４：５の直角三角形の鋭角が(無理数)度であることを示しました。方針としては、(有理数)度であると仮定して背理法で示しました。その証明はおおまかに以下の通りです。 このように鋭角をθと置きます。「θが(有理数)度」=「θは(有理数)×πラジアン」であることから、と書けたと仮定します。すると、となるはずです。qπは(整数)×πなので、cosが±1になるわけです。しかし、cosθ=3/5にcosの加法定理を繰り返し用…

整数比直角三角形の鋭角をθと置くと、cosθの値は1より小さい有理数となります。例えば、5:12:13の直角三角形の鋭角をθとすれば、cosθは12/13または5/13です。このθが(有理数)×πラジアンであるかどうかを考えるのが今回の疑問です。そこで、少し話を広げて、 cosθが有理数で、かつθが(有理数)×πラジアンであるのはどのような時か という問題を考えてみます。まずすぐに分かるのが、cosθが有理数になるθ=(有理数)×πとして、θ=0,π,π\2、π\3と、これらの整数倍があります。他にないのか？ということを調べます。

具体的な考察

の解は の解は これで、 のとき といえます。

これを見ると、 は 次多項式で、 の係数は となっているので、2倍して係数を にします。

するとここで と置くと、 の多項式に書きかえられます。

これからは の多項式として見るので、便宜的に、 と置きましょう。つまり、

となります。この の係数を見ると、・最高次の項の係数が1である・nが偶数のとき、定数項は2と-2が交互に現れる・nが奇数のとき、定数項は0で、1次の項の係数が1,-3,5,-7. となるということが成り立っています。これらも漸化式から導かれます。この最高次数の項、定数項および1次の項が分かることが重要です。

(ただし はともに0でない)の有理数解が存在するならば、必ず

のいずれかに限られるが、今回はこのどれも解ではない。それは に のどれを代入しても0にならないからである。 例③ の有理数解

の有理数解の候補を絞り込みたいが、多項式 の定数項は0であるため、上の定理が使えない。しかし で括って、

という整数係数方程式の有理数解が存在するとしたらそれはいくつなのかを考えます。右辺を移項して、

とします。今、 なので、定数項 は0,±2,±4のいずれかになります。

が のいずれでもない有理数のとき、

となります。cosθの何倍角も決して±1とならないのであれば、θは(有理数)×πラジアンではありません。つまり、 が のいずれでもない有理数のとき、θは(無理数)×πラジアンである…②

ということで、整数比直角三角形の鋭角をθとすると、cosθは0,±1,±1/2のいずれでもない有理数になるので、②より、θは(無理数)×πラジアンです。θが(無理数)×πラジアンなら(無理数)度なので、これで、 すべての整数比直角三角形の鋭角が無理数度である ことが示せました。

感想

・k : 都立日比谷高校(平成28年卒業)出身。早稲田大学基幹理工学部卒。京都大学理学研究科在学。得意科目は数学。 ・AKKY : 都立日比谷高校(平成28年卒業)出身。早稲田大学政治経済学部卒業。得意科目は古典・世界史。 ・Ｈ : 都立日比谷高校(平成28年卒業)出身。慶應義塾大学理工学部卒業。得意科目は英語。

・k : 都立日比谷高校(平成28年卒業)出身。早稲田大学基幹理工学部在学。得意科目は数学。 ・AKKY : 都立日比谷高校(平成28年卒業)出身。早稲田大学政治経済学部在学。得意科目は古典・世界史。 ・Ｈ : 都立日比谷高校(平成28年卒業)出身。慶應義塾大学理工学部在学。得意科目は英語。