「多面体・正多面体」とは？種類と特徴一覧表（展開図つき）まとめ

中学１年生の数学で学習する「多面体・正多面体」について、どんな種類があるのかの一覧表、正多面体の定義と性質とは？正多面体の覚え方と、なぜ正多面体は５種類なのかなど、わかりやすく紹介しています。 正多面体の展開図をダウンロードすることもできま

ご無沙汰してます。本年もよろしくお願いいたします。 正多面体が５種類しかない理由の説明すごくわかりやすいです。 また、教えてください。 １，「正多面体」は、「すべての面が同じになる立体」とありますが、「すべての面の側辺の長さが等しい立体」ってことですよね？ ２、三角錐と四面体についてです。 三角錐の定義では１つの三角形を底面とし、三角錐の頂点と底面の三角形の各頂点を結んでできる立体となっています。このことから次のようにいっていいのでしょうか？ (1)三角錐は四面体である。 三角錐は底面の三角形と側面の３つの三角形とからなるので、三角形の面が４つなので 四面体である。 (2)四面体は３角錐の一種である。 四面体のどれか一つの三角形を底面とみなせば三角錐として扱えるので三角錐の一種である。

もっちゃんさん、あけましておめでとうございます！ 本年もよろしくお願いいたします。記事の感想もありがとうございます、とても励みになります。 返信が遅くなってしまい申し訳ないです。 さて、今回のご質問ですが、言葉の定義をしっかり捉えようとする素晴らしい視点ですね。順にお答えします。 １について 結論から言うと、その通りです！ 正多面体の定義には「すべての面が合同な正多角形である」という条件があります。 「合同」ということは大きさも形も全く同じということであり、さらに「正多角形」はすべての辺の長さが等しい図形のことですから、結果として正多面体に使われているすべての辺の長さは等しくなります。 補足ですが、単に「すべての辺の長さが等しい」だけでは正多面体とは言えない（例：ひし形だけでできた多面体など）のですが、「正多面体ならば、すべての辺の長さは等しい」というのは間違いなく正しい性質です。 ２について こちらも、もっちゃんさんの考え方で完璧に合っています！ (1) 三角錐は四面体である。 → 正解です。「四面体」という名前は「面が４つある立体」という意味なので、底面１枚＋側面３枚＝計４枚の面を持つ三角錐は、四面体です。 (2) 四面体は三角錐の一種である。 → これも正解です。四面体は４つの面すべてが三角形でできています。どの面を下（底面）にして置いたとしても、必ず「底面が三角形で、そこから頂点に向かって伸びる立体」に見えますよね。だから、四面体はどの向きから見ても三角錐と言えます。 まとめると 中学数学の範囲では、「四面体」と「三角錐」はほぼ同じ立体（同じものとして扱ってOK）です。 ・面の「数」に注目して呼ぶときは「四面体」 ・底面や頂点という「形・構造」に注目して呼ぶときは「三角錐」 というように、場面によって呼び方を使い分けているだけなんですね。 またいつでも気になったことがあれば質問してくださいね！

回答いただきありがとうございます。 三角錐と四面体、面の「数」に注目するか、底面や頂点という「形・構造」に注目するかの違いなんですね。考え方のポイントが示されていてとてもすっきりしました。場面によって呼び方を使い分けしているだけという部分には納得できました。 昨年のサーバーメンテ以来サイト内も変わってきているように感じます。先生の詳しいプロフィールにも書かれてませんが、猫を飼われているのですか？

もっちゃんさん すっきりしていただけて良かったです！！ お役に立てて嬉しいです。 サイト内ですが、特にシステム的には変更はしていませんが、広告をかなり減らしたのはあります。 特に動画広告などは、みなさんの集中の妨げになってしまっていたので排除できて良かったです。 でもち実はょうど今、システムの大きな改修を進めています。 3月～4月に、新機能などを告知出来るかと思います。 もし「こんな機能があったらいいな」「ここ、使いにくいな」というものがあったらぜひお知らせください。 より便利に使っていただけるようにしていくために頑張りますね！ 「ゆみねこ」なのに、猫は飼っていないです笑（昔飼っていましたが） 現在は、黒柴を飼っています。もっちゃんさんも何か飼われているのですか？

定義ばかり質問して申し訳ないんですがまた教えてください。 中学数学で、空間図形、立体、平面図形という用語が出てきますが、この区別をどう考えればよいのか教えてください。以下は断片的には理解しているつもりですが頭の中がうまく整理できてません。 １、空間とは幅、長さ、奥行きの3つの方向（３次元）で構成される。 ２、図形とは数学的には、形のあるものというより点の集合を指す。 ３、空間図形というときは、空間上の点、直線、曲線、平面、曲面、立体などが含まれる。従って立体は空間図形の一部を指す。（立体とは？と聞かれるとどう説明すればいいのかはわかりません） ４，平面図形とは幅、長さをもつ２次元の平面上に、点の集合として直線や、曲線等で構成される形状を指す。独立変数が一つの１次関数や２次関数もグラフ化すれば平面図形となる。

定義についての質問、大歓迎ですよ！ 言葉の意味が曖昧だと、問題を解いていてもモヤモヤしますもんね。 もっちゃんさんが整理された１～４の内容、数学的にとても正確で、素晴らしい理解度です！ 特に「図形とは点の集合である」という視点は、高校数学や大学数学にもつながる本質的な捉え方です。 頭の中をスッキリ整理するために、中学数学の視点で少し補足しますね。 【「立体」と「空間図形」の違いについて】 もっちゃんさんの書かれている通り、「空間図形」という大きな枠組みの中に「立体」が含まれます。 空間図形（Space figures） 「同一平面上にない図形」の総称です。 ３次元空間にある「点、直線、平面、曲面、立体」すべてを含みます。 （例：ねじれの位置にある２直線、平面と直線の関係など） 立体（Solid） 空間図形の中でも、「空間の一部を界面（平面や曲面）で限り取ったもの」つまり「体積（中身）を持つもの」を指します。 （例：立方体、円錐、球など） 中学数学では、 「紙（平面）の上にペタッと描けるのが平面図形」 「紙から飛び出してしまう（高さや奥行きがある）のが空間図形」 というイメージで区別します。 【もっちゃんさんの整理の仕方について】 空間（３次元）：その通りです。縦・横・高さの世界ですね。 図形（点の集合）：その通りです。非常に鋭い視点です。 空間図形と立体：ここが一番の悩みどころだったと思いますが、「立体は空間図形の一部（体積を持つもの）」という理解で完璧です。 平面図形：その通りです。関数グラフも平面上の点の集合なので、平面図形の一種と言えます。 【まとめ】 図形という大きな世界の中に、 ・平面図形（2次元：三角形、円、関数のグラフなど） ・空間図形（3次元：ねじれの位置、平面、立体など） がある、という包含関係でイメージすると整理しやすいですね。 「立体とは？」と聞かれたら、シンプルに「空間内で、体積（中身の広がり）をもつ図形」と答えるのが一番わかりやすいかと思います。

イメージが湧いてよかったです！ 定義がスッキリすると気持ちいいですよね。 ご質問の「限り取る」の意味ですが、もっちゃんさんの解釈で大正解です！ 数学的な表現として「限り取る」という言葉を使うことがありますが、これはまさに「囲む」「区切る」という意味です。 囲まれた：無限に広がる空間の中で、面（皮のようなもの）で囲んで、内側と外側を分けるイメージ。 切り取られた：空間という大きな粘土の塊から、ある形の部分だけをスパッと切り出すイメージ。 どちらのイメージも正しいです。 「どこまでがその図形なのか、境界線（面）をはっきりさせて、範囲を限定する」ことを、数学ではかっこよく「限り取る」と言ったりするということですね。 ですので、「面で囲まれていて、中身が詰まっているもの」という理解でOKです！

関東もよく雪が降っているみたいで大変ですね。自分の住んでいるところは琵琶湖の南側なので余り降らないので助かってます。 また教えてください。正多面体の定義から次のように言うことができますか？ 多面体が立体になるには、その一つの頂点に集まる3つ以上の多角形の内角の和が360度未満であることが必要条件である。

琵琶湖の南側にお住まいなんですね！雪が少ないのは助かりますね。こちらはこの数日寒くて大変です（笑） ご質問の件ですが、その通りです！ 頂点に集まる多角形の内角の合計がちょうど360度になると、平面（平ら）になってしまって立体になりません（「敷き詰め模様」になります）。 さらに360度を超えると、面同士が重なってしまったり、波打ったりして、凸多面体の頂点を作ることができません。 なので、「頂点に集まる角の和が360度未満であること」は、凸多面体（出っ張った立体）を作るための必要条件と言えます。 この「360度との差（不足分）」があるからこそ、そこを埋めるように折り曲げて、立体的な「角（かど）」を作ることができるということですね！

また教えてください。正多面体の頂点、面の数に関連して正六と正八、正八と正六、、、、には、双対という関係があると書かれていたことについて。 １．そもそも双対ってどういう意味なんですか？ ２、例えば正六面体の隣り合う面の中点を結ぶと正八面体ができる。この時 正六面体と正八面体とは双対関係にあるという書き方がされているのですが、正六面体と正八面体の双対関係ってどういうことを指しているのですか？ 初めは正多面体の面の中点を結ぶと別の正多面体ができることが双対の意味なんかなと考えたのですが、頂点と面の数を入れ替えた、、とも書かれていてどうもそういう事ではないのではと。 ３．この双対という用語は正多面体だけ、それとも凸多面体でも使われるのですか？

「双対」、なかなかかっこいい響きの言葉ですよね。 高校数学や大学数学で深く学ぶ概念ですが、イメージがつかめればとても面白いところですね。 「双対」とは、ざっくり言うと「裏表の関係」や「対になる関係」のことを指します。 ある操作（今回は「面と頂点を入れ替える」こと）を行ったとき、AがBになり、BがAに戻るような、互いに入れ替えが可能なペアの関係を言います。 【正六面体と正八面体の関係について】 もっちゃんさんが気づかれた「２つの視点」、実はどちらも正解で、同じことを別の角度から言っているだけです。 図形的な作り方として、正六面体の「面の中心」を結んでいくと、正八面体ができます。 逆に、正八面体の「面の中心」を結んでいくと、正六面体ができます。 数的な性質としては、 正六面体（面が6、頂点が8） 正八面体（面が8、頂点が6） このように、「面」の数と「頂点」の数が完全に入れ替わっていますよね。 つまり、「ある立体の『面』を『頂点』とみなして（中心を結んで）新しい立体を作ると、面と頂点の数が入れ替わったペアができる」。 この関係を「双対」と呼んでいるということですね。 では、正多面体以外でも使われるか？ということですが、結論から言うと使われます。 へこみのない多面体（凸多面体）であれば、一般的に双対な多面体を考えることができます。 ただ、「正多面体の双対は、また正多面体になる」という性質が非常にきれいなので、正多面体の話でよく取り上げられているようです。 （ちなみに、サッカーボールの形「切頂二十面体」の双対などもありますよ！）

ご回答いただきありがとうございます。 双対の本質って何なのかがよくわからないのですが、、、。 正六面体の「面の中心」を結んでいくと、正八面体ができて、元の正六面体と新しく内部にできた正八面体とは頂点と面の数を見れば逆の関係になっている、、、、、なぜこの数字の関係をもってこの二つの正多面体は裏表の関係にあるという言い方になるのかがよく理解できません。もう一回、「面の中心」を結ぶことを繰り返すと相似な正六面体にもどることからこの数字が意味を持つのだろうとは思うのですが？ 一般の凸多面体にも双対関係があるそうですが、この場合だといろんな多角形の面の組み合わせになってきますが、この場合は何をもって裏表の関係があると判断するんだろうと？？

「もう一回繰り返すと元に戻る」という点に気づかれたのは流石ですね。それこそが双対の本質だと思います。 なぜ「裏表（双対）」と呼ぶのかというと、もっちゃんさんがおっしゃる通り、「AからBが作れて、BからまたAが作れる（元に戻る）」という「対（ペア）になる関係」だからこそ、双対と呼びます。 単に「数が逆」というだけでなく、「役割が入れ替わっている」と考えるとわかりやすいかもしれません。 正六面体の「尖っている頂点」には、面が3つ集まっています。 → これが正八面体では、「3本の辺を持つ面（三角形）」に変わります。 正六面体の「平らな面」は、角が4つある正方形です。 → これが正八面体では、「4つの面が集まる頂点」に変わります。 つまり、 「頂点の鋭さ（集まる数）」⇔「面の形（角の数）」 というふうに、立体の構造情報が完全に変換されて保存されていること、これが双対の本質です。 一般の凸多面体の場合も考え方は同じです。 例えば、「ある頂点に5つの面が集まっている凸多面体」があったとします。 その双対を作ると、その頂点に対応する部分は「5角形の面」になります。 「どんな形の面が、どうつながっているか」という情報が、すべて「頂点」と「面」を入れ替える形できれいに書き換わるということですね。

毎回 丁寧な回答を頂き本当にありがとうございます。 理解に近づいているのか,AJ正十二面体と正二十面体を例に言葉の使い方を確認させてください。 正十二面体において、隣り合う面の中心を互いに結ぶ操作を行うとその内部に正二十面体が出来、二つの立面体の間には、頂点の構造と、面の構造とが入れ替わった形になる（正二十面体から逆の操作も同じ結果になる）。このように凸多面体にある操作を加えたとき、元の凸多面体と新たに出来た凸多面体の間に、頂点の構造と、面の構造とが入れ替わる形になることを双対という。 具体的には、双対の関係となる正十二面体と正二十面体との間には次の構造の入れ替わりが起きる。 正十二面体の一つの面（正五角形）に５つの頂点があるが、その面の中心を頂点とする正二十面体は、その頂点の周りに５つの面（正三角形）が集まる形に変わる。 また、正十二面体の一つの頂点には３つの面（正五角形）が集まっているが、正二十面体はこの３つの面（正五角形）の中心を結ぶ事によりできる３つの辺により１つの面（正三角形）に変わる。 このように、双対な関係にある正多面体では頂点の構造と面の構造が入れ替わる形になる。 これらの結果として、正十二面体と正二十面体の（頂点数、面の数）はそれぞれ（２０、１２）、（１２、２０）となり、頂点数、面の数は入れ替わりの関係になる。

いただいたまとめを拝見しました。 完璧です！まさにおっしゃる通りの理解で間違いありません。 特に素晴らしいのは、単に「数が入れ替わる」という結果だけでなく、 「正十二面体の1つの面（正五角形）の性質」が「正二十面体の1つの頂点（5つの面が集まる）の性質」に対応する、という構造的な入れ替わりを言葉で正確に表現されている点です。 これが理解できていれば、双対という概念の本質を完全に捉えていると言えます。 ここまで複雑な立体図形の関係を、文章だけで整理できるのは本当にすごいですね！

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