楕円体・回転楕円体の意味と体積・表面積
楕円体・回転楕円体についてくわしく説明します。球を拡大・縮小した立体です。体積・表面積・媒介変数表示・回転楕円体の種類についてそれぞれ説明します。
以下 ⟺ \iff ⟺ y 2 + z 2 ≤ b 2 ( 1 − x 2 a 2 ) y^2+z^2\leq b^2\left(1-\dfrac\right) y 2 + z 2 ≤ b 2 ( 1 − a 2 x 2 ) ⟺ \iff ⟺ x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 b 2 ≤ 1 \dfrac+\dfrac+\dfrac\leq 1 a 2 x 2 + b 2 y 2 + b 2 z 2 ≤ 1
回転楕円体では「仲間外れの係数の変数が回転軸」になります。例えば，上記の場合， a , b , b a,b,b a , b , b で仲間外れは a a a であり，回転軸は x x x 軸です。
楕円体： x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 ≤ 1 \dfrac+\dfrac+\dfrac\leq 1 a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 ≤ 1 の体積は， V = 4 3 π a b c V=\dfrac\pi abc V = 3 4 πab c
- 回転楕円体の体積も，この定理から計算できます。
- a = b = c a=b=c a = b = c の場合は，球の体積公式 4 3 π a 3 \dfrac\pi a^3 3 4 π a 3 になります。
- 楕円の面積公式 S = π a b S=\pi ab S = πab と似ています。
楕円体 x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 ≤ 1 \dfrac+\dfrac+\dfrac\leq 1 a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 ≤ 1 を y y y 軸方向に a b \dfrac b a 倍に拡大し， z z z 軸方向に a c \dfrac c a 倍に拡大すると，
x 2 a 2 + y 2 a 2 + z 2 a 2 ≤ 1 \dfrac+\dfrac+\dfrac\leq 1 a 2 x 2 + a 2 y 2 + a 2 z 2 ≤ 1
になる。 これは半径 a a a の球であるので，体積は 4 3 π a 3 \dfrac\pi a^3 3 4 π a 3
- 長楕円体（長球） ：回転軸が別の軸よりも長い。つまり，回転楕円体の式 x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 b 2 = 1 \dfrac+\dfrac+\dfrac=1 a 2 x 2 + b 2 y 2 + b 2 z 2 = 1 において， a > b a>b a > b の場合。ボールの北極と南極をつかんで引き伸ばすイメージ。ラグビーボール。
- 扁平楕円体（扁球） ：回転軸が別の軸よりも短い。つまり，回転楕円体の式 x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 b 2 = 1 \dfrac+\dfrac+\dfrac=1 a 2 x 2 + b 2 y 2 + b 2 z 2 = 1 において， b > a b>a b > a の場合。ボールの北極と南極から押しつぶすイメージ。地球は球に近い扁平楕円体とみなすことが多い。 1 − a b 1-\dfrac1 − b a のことを扁平率と呼ぶことがある。
回転楕円体： x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 b 2 = 1 \dfrac+\dfrac+\dfrac=1 a 2 x 2 + b 2 y 2 + b 2 z 2 = 1
- a > b a > b a > b のとき S = 2 π ( b 2 + a b A r c s i n ( ε 1 ) ε 1 ) S=2\pi\left(b^2+\dfrac\right) S = 2 π ( b 2 + ε 1 ab Arcsin ( ε 1 ) )
- a < b a < b a < b のとき S = 2 π ( b 2 + a 2 tanh − 1 ( ε 2 ) ε 2 ) S=2\pi\left(b^2+\dfrac(\varepsilon_2)>\right) S = 2 π ( b 2 + ε 2 a 2 tanh − 1 ( ε 2 ) )
ただし， ε 1 = a 2 − b 2 a 2 \varepsilon_1=\sqrt> ε 1 = a 2 a 2 − b 2
， ε 2 = b 2 − a 2 b 2 \varepsilon_2=\sqrt> ε 2 = b 2 b 2 − a 2
長球のときはサインの逆関数，扁球のときは tanh \tanh tanh の逆関数が出てくるのがおもしろいです！→ 双曲線関数(sinhx, coshx, tanhx)の逆関数
x = x 0 x=x_0 x = x 0 から x 0 + Δ x x_0+\Delta x x 0 + Δ x の間にある部分の表面積を考える。この部分は Δ x \Delta x Δ x が十分小さいとき「 長さが 2 π y 0 2\pi y_0 2 π y 0 で 太さが ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \sqrt ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2
2 π y 0 1 + ( Δ y Δ x ) 2 Δ x 2\pi y_0\sqrt\Delta x 2 π y 0 1 + ( Δ x Δ y ) 2
S = ∫ − a a 2 π y 1 + y ′ 2 d x S=\int_^a 2\pi y\sqrtdx S = ∫ − a a 2 π y 1 + y ′2
まず，被積分関数を x x x で表す。
- x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \dfrac+\dfrac=1 a 2 x 2 + b 2 y 2 = 1 より y 2 = b 2 ( 1 − x 2 a 2 ) y^2=b^2\left(1-\dfrac\right) y 2 = b 2 ( 1 − a 2 x 2 )
- また，これを x x x で微分すると 2 y y ′ = − 2 b 2 x a 2 2yy'=\dfrac2 y y ′ = a 2 − 2 b 2 x
S = 4 π ∫ 0 a b 2 − b 2 x 2 a 2 + b 4 a 4 x 2 d x S = 4\pi \int_0^a \sqrt+\dfracx^2>dx S = 4 π ∫ 0 a b 2 − a 2 b 2 x 2 + a 4 b 4 x 2
ここで， a > b a> b a > b の場合 ，上式は
4 π b ∫ 0 a 1 − ε 1 2 a 2 x 2 d x 4\pi b \int_0^a\sqrtx^2>dx 4 πb ∫ 0 a 1 − a 2 ε 1 2 x 2
x = a sin θ ε 1 x=\dfrac x = ε 1 a sin θ と置換すると，
S = 4 π a b ε 1 ∫ 0 θ 0 cos 2 θ d θ = 2 π a b ε 1 ( θ 0 + sin 2 θ 0 2 ) = 2 π a b ε 1 ( θ 0 + sin θ 0 cos θ 0 ) \begin S &= \dfrac\displaystyle\int_0^\cos^2\theta d\theta\\ &= \dfrac\left(\theta_0+\dfrac\right)\\ &= \dfrac\left(\theta_0+\sin\theta_0\cos\theta_0\right) \end S = ε 1 4 πab ∫ 0 θ 0 cos 2 θ d θ = ε 1 2 πab ( θ 0 + 2 sin 2 θ 0 ) = ε 1 2 πab ( θ 0 + sin θ 0 cos θ 0 )
ただし， ε 1 = sin θ 0 \varepsilon_1=\sin\theta_0 ε 1 = sin θ 0 と， cos θ 0 = 1 − sin 2 θ 0 = 1 − ε 1 2 = b 2 a 2 \begin \cos\theta_0 &= \sqrt\\ &= \sqrt\\ &= \sqrt> \end cos θ 0 = 1 − sin 2 θ 0
楕円面 x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 \dfrac+\dfrac+\dfrac=1 a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 = 1 は，媒介変数 θ , ϕ \theta,\phi θ , ϕ （ただし， 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ < 2 π 0\leq \theta \leq \pi,\:0\leq\phi