減衰振動を微分方程式で解く方法をわかりやすく紹介

振動現象の１つである減衰振動について，運動方程式（微分方程式）とその解法について紹介します。

速度は位置の時間微分で与えられる，すなわち \(\displaystyle v = \frac\) であるので運動方程式に代入すると \[m\frac=-kx-b\frac\] となります。ここで少し整理をしましょう。\(\displaystyle \gamma=\frac\)，固有角振動数 \(\displaystyle \omega_0= \sqrt>\) とおいて移項すると \[\frac+2 \gamma \frac + \omega_0^2 x=0\] となり，これは定数係数２階微分方程式になるので，特性方程式 \[\lambda^2+2\gamma \lambda+\omega_0^2=0\] の解が

• 実数解を３つ持つ
• 重解を持つ
• 複素数の解を持つ

① 抵抗力が大きいとき② 抵抗力がばねの振動とちょうど釣り合うとき③ 抵抗力が小さい時

特性方程式は重解 \(\lambda =-\gamma\) を持つので，微分方程式の一般解は \[x(t)=(c_1+c_2t)e^\] となります。

このように，次第に振幅が小さくなりながら振動を繰り返す運動を「減衰振動」といいます。