【２次関数】場合分けが「5つ」のパターンをスッキリ完全理解！(最大値・最小値の求め方)

【２次関数】場合分けが「5つ」のパターンをスッキリ完全理解！(最大値・最小値の求め方) $ \begin 1＜a \enspace のとき \enspace \enspace a^2+1 \enspace (x = 0) \\ \\ a=1 \enspace のとき \enspace \enspace 2 \enspace (x=0, 2) \\ \\ a＜1 \enspace

$ \begin 1＜a \enspace のとき \enspace \enspace a^2+1 \enspace (x = 0) \\ \\ a=1 \enspace のとき \enspace \enspace 2 \enspace (x=0, 2) \\ \\ a＜1 \enspace のとき \enspace \enspace a^2-4a+5 \enspace (x = 2) \\ \end$

$ \begin 2＜a \enspace のとき \enspace \enspace a^2 -4a +5 \enspace (x = 2) \\ \\ 0≦a≦2 \enspace のとき \enspace \enspace 1 \enspace (x=a) \\ \\ a＜0 \enspace のとき \enspace \enspace a^2 + 1 \enspace (x = 0) \\ \end$ ・・・（注）

【２次関数】場合分けが「5つ」のパターン（上に凸）

次は「 ２次関数（上に凸）の最大値・最小値を求める問題 」で「 5つの場合分け 」のパターンを解説していきます。

Point ：「左」「頂点」「右」のうち、どこで最大・最小か？

$ $[1] 最大値 が「右」、 最小値 が「左」（右＜軸）

$ $[2] 最大値 が「頂点」、 最小値 が「左」（中＜軸≦右）

$ $[3] 最大値 が「頂点」、 最小値 が「左・右」（軸＝中）

$ $[4] 最大値 が「頂点」、 最小値 が「右」（左≦軸＜中）

$ $[5] 最大値 が「左」、 最小値 が「右」（軸＜左）

「頂点」「軸」「上・下に凸」

$ $[1] 最大値 が「右」 最小値 が「左」(右＜軸)

$ $[2] 最大値 が「頂点」 最小値 が「左」(中＜軸≦右)

$ $[3] 最大値 が「頂点」 最小値 が「左・右」(軸＝中)

$ $[4] 最大値 が「頂点」 最小値 が「右」(左≦軸＜中)

$ $[5] 最大値 が「左」 最小値 が「右」(軸＜左)

② 右＜軸 となるように「右（$x=2$）」を書く

③ 「左（$x=0$）」を書く

④ 放物線にプロットして、範囲を濃く塗る

⑤ 高さが 最大 ・ 最小 の点を読み取る

$ $ $x = 2$ で 最大値 $-a^2 +4a -5$

$ $ $x = 0$ で 最小値 $-a^2 -1$

$ $ $x = 0$ で 最小値 $-a^2 -1$

$ $ $x = 0, 2$ で 最小値 $-a^2 -1 = -2$（$a=1$を代入）

$ $ $x = 2$ で 最小値 $-a^2 +4a -5$

$ $ $x = 0$ で 最大値 $-a^2 -1$

$ $ $x = 2$ で 最小値 $-a^2 +4a -5$

【解答】を見る

$ $ $x = 2$ で 最大値 $-a^2 +4a -5$

$ $ $x = 0$ で 最小値 $-a^2 -1$

$ $ $x = 0$ で 最小値 $-a^2 -1$

$ $ $x = 0, 2$ で 最小値 $-a^2 -1 = -2$（$a=1$を代入）

$ $ $x = 2$ で 最小値 $-a^2 +4a -5$

$ $ $x = 0$ で 最大値 $-a^2 -1$

$ $ $x = 2$ で 最小値 $-a^2 +4a -5$

$ \begin 2＜a \enspace のとき \enspace \enspace -a^2 +4a -5 \enspace (x = 2) \\ \\ 0≦a≦2 \enspace のとき \enspace \enspace -1 \enspace (x=a) \\ \\ a＜0 \enspace のとき \enspace \enspace -a^2 – 1 \enspace (x = 0) \\ \end$

$ \begin 1＜a \enspace のとき \enspace \enspace -a^2-1 \enspace (x = 0) \\ \\ a=1 \enspace のとき \enspace \enspace -2 \enspace (x=0, 2) \\ \\ a＜1 \enspace のとき \enspace \enspace -a^2 +4a -5 \enspace (x = 2) \\ \end$ ・・・（注）

補足1：場合分けでイコールをどっちにつければいいの？

$ $[2] $1＜a≦2$ のとき って、どうして「$0 ＜ a\color2$」じゃなくて「$0 ＜ a\color2$」ってイコールが入ってるの？

これに対する答えは「 漏れやダブりがなければ、どっちにイコールを入れてもOK！ 」です。

は、$a\color2$ のときが「 漏れ 」ているのでダメですが、

$ $ ○ [1] $ 2 \colora $、[2] $0 ＜ a \color 2$、・・・

補足2：最大値M(a)、最小値m(a)のグラフをかく問題

それは「 最大値 M(a)、最小値 m(a) のグラフをかけ 」というタイプの問題です。

$ $ $M(a) = $ $ \begin 1＜a \enspace のとき \enspace \enspace a^2+1 \enspace (x = 0) \\ \\ a=1 \enspace のとき \enspace \enspace 2 \enspace (x=0, 2) \\ \\ a＜1 \enspace のとき \enspace \enspace a^2-4a+5 \enspace (x = 2) \\ \end$

$ $ $m(a) = $ $ \begin 2＜a \enspace のとき \enspace \enspace a^2 -4a +5 \enspace (x = 2) \\ \\ 0≦a≦2 \enspace のとき \enspace \enspace 1 \enspace (x=a) \\ \\ a＜0 \enspace のとき \enspace \enspace a^2 + 1 \enspace (x = 0) \\ \end$

【まとめ】２次関数の場合分けが「5つ」のパターン【最大値・最小値の求め方】

「 ２次関数の最大値・最小値を求める問題 」の場合分けにおける最重要ポイントは

【２次関数】場合分けが「3つ」のパターン

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中3 県内模試の偏差値 45 → 60 にUP！

高1 学年360人中200位台 → 17位 にUP！

高2 全国模試の偏差値 48.1 → 70.4 にUP！

高2 平均点以下 → 学年2位 にUP！

高3 横浜国立大・名古屋大・慶應大 合格 など

・河合塾 全統記述模試 英語 偏差値82.5 など