交流(複素数表示)
複素数表示という表現方法を用いることで交流理論の煩雑性を回避することができます. 複素数表示の表現方法やその初等的な使い方について議論します.
そこで, 高校物理では登場しないが, 交流に登場する幾つかの物理量を複素数領域にまで拡張した上で交流電流や電圧, インピーダンスを手早く議論する手法, 複素数表示を紹介する.
以下では複素数の物理量を大文字で書くことにし, 通常の物理量と区別をしておき, 虚数単位を \( i \) とする [1] 一般的な電気回路の教科書では虚数単位 \( i \) が電流密度 \( i \) と混同することを避けるため, 虚数単位に \( j \) が使われていることが多い. … Continue reading .
また, 交流電源の供給電圧を次式の余弦関数であらわしておく [2] わざわざ余弦関数に書き直す理由はすぐにわかるが, 仮に正弦関数で電圧を記述したとしても, \[ \begin V &= V_ \sin + i \sin > ] . \] つまり, 現実世界の交流電圧 \( V \) と複素数を \[ \begin V &= \sqrt V_ \cos \\ \iff \ \vb* &= V_ \qty[ \cos > + i \sin > ] . \end \] という対応関係で表すのである.
さらに, 上式の複素電圧の右辺は, 三角関数と指数関数及び虚数単位 \( i \) について成り立つ関係式であるオイラーの公式 \[ e^ = \cos + i \sin \] を利用することでより簡略化して書くことができる. ここで, \( e \) は自然対数の底である.
このオイラーの公式を用いると, 複素電圧 \( \vb* \) は次の形になる. \[ \begin \vb* &= V_ \qty[ \cos > + i \sin > ] \\ &= V_ e^ > \quad \qty( V_>0, \omega \in \mathbb ) \end \] このように, 複素電圧 \( \vb* \) というものを考え, 現実に観測できる交流電圧と複素電圧とを下図のように対応させる考え方を(電圧の)複素数表示という.
複素数表示オイラーの公式 : \[ e^ = \cos + i \sin \] 電圧の複素数表示 : 電圧の実効値 \( V_ \) , 角振動数 \( \omega \) , 位相 \( \theta_ \) という3つのパラメタで特徴付けられる交流電圧 \( V = \sqrt V_ \cos \) を複素数 \( \vb* = V_ e^ \) に対応させる. \( \vb* \) を複素電圧という. 電流の複素数表示 : 電流の実効値 \( I_ \) , 角振動数 \( \omega \) , 位相 \( \theta_ \) という3つのパラメタで特徴付けられる交流電流 \( I = \sqrt I_ \cos \) を複素電流 \( \vb* = I_ e^ \) に対応させる.
微分と積分の複素数表示
複素数表示の有効性を知ってもらうため, また, のちの計算をスムーズに進めるために, 現実世界の時間微分や時間積分が複素数表示ではどう表現されるのかを見ておこう.
交流のように振幅が \( \sqrt X \) , 角振動数が \( \omega \) , 位相が \( \theta \) で与えられるような物理量 \[ x(t) = \sqrt X \cos \] について考える. この量の複素数表示を確認しておくと, \[ \vb* = X e^ \] である.
時間微分と複素数表示\( x(t) \) の時間微分は, \[ \begin \dv &= \dv \qty( \sqrt X \cos ) \\ &= – \omega \cdot \sqrt X \sin \\ &= \omega \cdot \sqrt X \cos \end \] である. この量を複素数表示であらわすと, \[ \begin \dv &= \sqrt \omega X \cos \\ \iff \ & \omega X e^ )> \\ & = \omega X e^ e^ > \\ & = i \omega X e^ \quad \qty( \because \ e^ > = \cos +i \sin = i ) \\ &= i \omega \vb* \end \] となる. したがって, 現実世界の時間微分は複素数表示では \( i\omega \) 倍することに等しいのである. \[ \dv x(t) \iff i \omega \vb* \]
時間積分と複素数表示 微分と積分の複素数表示角振動数 \( \omega \) の物理量を複素数表示することによって, (現実世界の時間微分)=(複素数の \( \displaystyle \) 倍), (現実世界の時間積分)=(複素数の \( \displaystyle> \) 倍)と対応する.
複素インピーダンス
交流に対して複素数の電圧や電流を導入したからには”抵抗”に該当する概念であるインピーダンスも複素数に拡張するのは自然な流れであろう. そこで, 複素電流に対する複素電圧の値を複素インピーダンスとして定義する.
このように, インピーダンスを複素数で書いておくとその意味が非常に明確になる. というのも, インピーダンスの大きさは交流電流と交流電圧の大きさの比なので”抵抗の大きさ”に該当し, インピーダンスが位相を持てば電流と電圧の間に位相差が生じるのである.
さらに, 複素インピーダンス \( \vb* \) を \[ \vb* = R + i X \quad ( R, X \in \mathbb) \] のようにして実部 \( R \) と虚部 \( X \) に分けたとき, 実部 \( R \) をレジスタンス(抵抗), \( X \) をリアクタンスという.
複素インピーダンス複素インピーダンスを次式で定義する. \[ \frac>> = \vb* \] 複素インピーダンス \[ \vb* = R + i X \quad ( R, X \in \mathbb) \] の実部 \( R \) をレジスタンス(抵抗), \( X \) をリアクタンスという. 複素インピーダンスの大きさ \[ Z_ = \sqrt \] が現実世界のインピーダンスであり, 複素インピーダンスの位相が電圧と電流の位相差を生む.
拡張されたキルヒホッフの法則
キルヒホッフの第1法則キルヒホッフの第1法則は回路中の分岐点に流れ込む電流の和と流れ出る電流の和は等しいという法則であった. つまり, ある点に流れ込む電流 \( I_ \) が \( m \) 本, 同一の点から流れ出る電流 \( I_ \) が \( n \) 本の時, \[ \sum_^ I_ = \sum_^ I_ \] が成立することであった.
複素電流についても上記の”電流”を”複素電流”と読み替えることができ, \[ \sum_^ \vb*_ = \sum_^ \vb*_ \] が成立する.
キルヒホッフの第2法則キルヒホッフの第2法則は任意の閉回路で, 起電力の代数和と電圧降下は電圧降下の和に等しいという法則であった. つまり, 任意の閉回路に \( m \) 個の起電力 \( E_ \) , \( n \) 個の電圧降下 \( V_ \) を引き起こす素子が存在すれば, \[ \sum_^ E_ = \sum_^ V_ \] が成立することであった.
電圧に関わる部分をそのまま複素数へ拡張し, 複素電圧についても任意の閉回路について \[ \sum_^ \vb*_ = \sum_^ \vb*_ \] が成立する.
複素インピーダンスと素子
抵抗のインピーダンス抵抗 \( R \) の抵抗と交流電源のみを含む回路では, 電圧と電流を複素数に拡張した拡張されたキルヒホッフの第2法則を適用し, \[ \begin \vb* &= R \vb* \\ \to \ \vb* &= \frac V_ e^ > \end \] となる. 複素電圧の位相が \( \theta_ \) であり, 複素電流の位相も \( \theta_ \) であるので, 電流の位相と電圧の位相との間に差が生じていない.
また, 抵抗のインピーダンスを \( \vb*_ \) と書くと, 次式のように \( \vb*_ \) は実数であることがわかる. \[ \frac>> = \vb*_ = R \] 抵抗のインピーダンスの実部 \( \displaystyle \) をレジスタンス（抵抗)という.
コンデンサ現実世界において, 静電容量 \( C \) のコンデンサと交流電源のみを含む回路では, コンデンサに蓄えられた電荷を \( Q \) とすると, キルヒホッフの第2法則より, \[ V = \frac \ \to \ \dv = \frac \] が成立するのであった. これを複素数へ拡張するわけだが, 現実世界の時間微分 \( \displaystyle \) は複素数表示では \( i\omega \) を乗じることに等しかったので, \[ \begin \dv &= \frac \\ \iff \ i \omega \vb* &= \frac \vb* \\ \therefore \ \vb*&= i \omega C \vb* \end \] となる. さらに, \[ i = e^ \ \qty( = \cos + i \sin ) \] が成り立つので, \( i \) は複素電流の位相を \( \displaystyle \) だけ進めていることに注意する. つまり, \[ \begin \vb* &= i \omega C \vb* \\ &= \omega C e^ \vb* \\ &= \omega C V_ e^ e^> \\ &= \omega C V_ e^ + \frac )> \end \] より, 複素電圧の位相が \( \theta_ \) であるのに対して, 複素電流の位相は \( \qty( \theta_ + \frac ) \) であり, 電流の位相が電圧に対して \( \displaystyle \) だけ進んでいる.
最後に, コンデンサのインピーダンスを \( \vb*_ \) と書くと, 次式のように \( \vb*_ \) は虚数であることがわかる. \[ \frac>> = \vb*_ = \frac \] コンデンサのインピーダンスの虚部 \( \displaystyle \) を容量リアクタンスという.
コイル現実世界において, 自己インダクタンス \( L \) のコイルと交流電源のみを含む回路では, キルヒホッフの第2法則より, \[ \vb* – L\dv> = 0 \] が成立するのであった. これを複素数へ拡張するわけだが, 現実世界の時間微分 \( \displaystyle \) は複素数表示では \( i\omega \) を乗じることに等しいので, \[ \begin & \vb* – i\omega L \vb* = \vb* \\ & \vb* = \frac \vb* \end \] が成立する. この式変形は複素数表示では単なる四則演算を行っただけだが, \( \vb* \) に \( \displaystyle \) がかけられているということは現実世界では \( \vb* \) を時間積分したことに該当している.
最後に, コイルのインピーダンスを \( \vb*_ \) と書くと, 次式のように \( \vb*_ \) は虚数であることがわかる. \[ \frac>> = \vb*_ = i \omega L \] コイルのインピーダンスの虚部 \( \mathrm\ [\vb*_] = \omega L \) を誘導リアクタンスという.
各素子のインピーダンス抵抗素子 : \( \vb*_ = R \) レジスタンス : \( \mathrm\ [\vb*_] = R \) コンデンサ : \( \displaystyle \) 容量リアクタンス : \( \displaystyle \) コイル : \( \vb*_ = i \omega L \) 誘導リアクタンス : \( \displaystyle \)
合成インピーダンス
これまで見てきたように, キルヒホッフの法則を適用することで交流回路における”抵抗”に該当する(複素)インピーダンスについて求めることができた. これは複雑な回路についても成立するので, 直流回路の時に合成抵抗を求めた方法と同じ方法をインピーダンスに適用することでその回路の合成インピーダンスを知ることが出来るのである.
RLC直列回路抵抗, コイル, コンデンサの各インピーダンスをそれぞれ \( \vb*_, \vb*_, \vb*_ \) とし, 回路に流れる(複素)電流を \( \vb* \) とすると, 回路についてキルヒホッフの第2法則を適用すると, \[ \begin \vb* &= \vb*_ \vb* + \vb*_ \vb* +\vb*_ \vb* \\ &= \qty( \vb*_ + \vb*_ +\vb*_ ) \vb* \\ &= \vb* \vb* \quad \qty( \vb* \coloneqq \vb*_ + \vb*_ +\vb*_ ) \end \] が成立し, \( \vb* \) を合成インピーダンスという.
そして, 電圧と電流との間に位相差が生じない時, 複素インピーダンスの位相 \( \theta \) がゼロ( \( \to \tan>=0 \) )となる角振動数(角周波数)を共振各周波数という. 共振角周波数を \( \omega_ \) とすると, \[ L \omega_ – \frac = 0 \ \iff \ \omega_ = \frac> \] のときにIの振幅は最大となる.
RLC並列回路インピーダンスによる位相差が生じず, 共振が起きる時の共振角振動 \( \omega_ \) は \[ \frac – \omega_ C = 0 \ \iff \ \omega_ = \frac> \] のときに \( I \) の振幅は最小となる.
合成インピーダンス 回路の合成インピーダンスは, 複素インピーダンスについて合成したものの大きさと一致する.複素電力
今, インピーダンス \( \vb* \) を持つような素子に, 複素電流 \( \vb*=I_e^> \) , 複素電圧 \( \vb*=V_e^> \) とする. この時, 複素電力 \( \vb* \) を次式で定義する. \[ \vb* = \vb* \vb*^ \] ここで” \( \ast \) ”は複素共役量をあらわす記号であり, \( \vb*^ = V_e^> \) である.
有効電力を知るためには電流の電圧の位相差 \( \qty( \theta_ – \theta_ ) \) を知れば良いことになる. 素子が一つだけの回路については次のようにまとめることが出来る.
- 抵抗のみを含んだ回路では \( \qty( \theta_ – \theta_ ) = 0 \) より, \( P=I_V_ \) .
- コンデンサのみを含んだ回路では \( \qty( \theta_ – \theta_ ) = \displaystyle \) より, \( P = 0 \)
- コイルのみを含んだ回路では \( \qty( \theta_ – \theta_ ) = \displaystyle< – \frac> \) より, \( P = 0 \)