行列とベクトルの積とは何か？わかりやすく解説

行列とベクトルの積とは何か？わかりやすく解説 行列とは何かについて深く考える必要はありません。単純に行列を関数のようなものと捉えてください。関数とは \(y=f(x)\) で表される \(f()\) の部分のことです。これは、「何らかの値 \(x\) を入力したら、別の値 \(y\) を出力する」ということを表しています。たとえば、ある関数が \(y=x^2\)

行列とは何かについて深く考える必要はありません。単純に行列を関数のようなものと捉えてください。関数とは \(y=f(x)\) で表される \(f()\) の部分のことです。これは、「何らかの値 \(x\) を入力したら、別の値 \(y\) を出力する」ということを表しています。たとえば、ある関数が \(y=x^2\) と定義されているとしたら、この関数は \(f(2)=4\)、\(f(3)=9\) というように入力に応じた値を出力します。

これと同じことを線形代数では \(\vec=A\vec\) と表します（\(A\) は行列です）。この式の中の行列 \(A\) が関数 \(f()\)、ベクトル \(\vec\) が入力、ベクトル \(\vec\) が出力です。

このように、ベクトルと行列の積は「関数である行列 \(A\) にベクトル \(\vec\) を入力して、新しいベクトル \(\vec\) を出力する」ということを表しているのです。

ポイントベクトルと行列の積とは、行列 \(A\) にベクトル \(\vec\) を入力して、新たなベクトル \(\vec\) を出力することです。これを式で表したのが以下です。これは重要な式なので覚えておきましょう。

2. 行列とベクトルの積の幾何学的な意味

なぜこのように理解しておくと良いのかというと、線形代数においては、行列とベクトルの積は「あるベクトルを、行列に入力することによって、それが出力ベクトルに 変化する様 ・・・・・ 」を表しているからです。これについては言葉で解説するよりも、以下のアニメーションをご確認頂ければ一目瞭然に理解することができます。

3. 行列とベクトルの積の計算方法

なお、ご覧のように、ベクトルと行列の積を計算する際は、行列をベクトルの 左側から ・・・・ 掛けることが特徴です。これも数学やプログラミングにおける関数とまったく同じです。たとえば関数 \(f()\) があるなら、これにある値 \(x\) を入力するときは \(f(x)\) と表現します。そして、この出力値をさらに別の関数 \(g()\) に入力する際は、\(g(f(x))\) と表現します。

線形代数においては、行列は関数なので、ベクトルと行列の積を求めるときは、関数と同じように、ベクトルを行列に入力するという意味で \(A\vec\) と計算します。そして、この出力値をさらに別の行列 \(B\) に入力する場合は、\(BA\vec\) というように、新しい行列を左側に置いて計算していきます。

4. ベクトルと行列の積の練習問題

問題：以下の2次元ベクトルと2次行列の積を求めよ。

解答

問題：以下の3次行列と3次元ベクトルの積を求めよ。

次に以下の3次行列 \(M\) と3次元ベクトル \(\vec\) を例に具体的に見てみましょう。

解答

5. まとめ

次に読みたいページ次からいよいよ線形代数の本丸に突入していきます。早速『線形変換とは？誰でも必ず理解できるようにアニメーションで解説』へと読み進めましょう。

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