正弦波の式

正弦波,波の式,波の複素数表示などについて解説します。

また、\(\displaystyle\large\) の項は波数といいます。波数は記号 \(\large\) により記述されます。 波数\(\displaystyle\large\)を使用することで、(1)式は以下のようにも表記されます。 $$\large$$ 波数\(\large\) がなぜ \(\displaystyle\large\) と表されるのかは、別のページの『波数とは』に説明しています。

正弦波が \(\large\)軸方向に速度 \(\large\) で進行しているとき、時刻\(\large\) における波の式は、\(\large\)軸方向に \(\large\) だけ平行移動させることにより表現します。

以下の図2に、(1)式の正弦波と、その正弦波を \(\large\) だけ平行移動させたときのグラフを示します。

\(\large\)軸の正方向に進行する正弦波は、(1)式の \(\large\) に \(\large\) を代入することで、以下のように表せます。

一方、x軸の負方向に進行する正弦波は、(1)式の \(\large\) に \(\large\) を代入し表現します。

【2】正弦波の式の変形

波長 \(\large\) 分だけ波が進行する時間を周期 \(\large\) といいます。 波が1周期分の進行する時間が周期 \(\large\) であることから、波の速度\(\large\)、波長\(\large\)、周期\(\large\) の関係は以下のようになります。 $$ \large$$

波数 \(\displaystyle\large\) と同様な形式で、角周波数 \(\displaystyle\large\) というパラメータが使用されます。 波数\(\large\) と角周波数\(\large\) を使用すると、(2)式は以下のように表すことができます。

単位時間に伝搬する波の数を振動数 \(\large\) といいます。 波が1周期分だけ伝達する時間を表す周期\(\large\) と振動数\(\large\) は、逆数の関係にあるため以下が成り立ちます。 $$\large>$$

ここで、(3)式より波の速度\(\large\) を振動数\(\large\) と波長\(\large\) により表すと、以下のようになります。 $$\large$$

以上の内容をまとめると、x軸の正方向に進行する正弦波の式は、以下のような式で記述されます。 \begin \large f(x,t)&=&\large A \sin \frac(x-vt)\\[0.7em] \large f(x,t)&=&\large A \sin \left(\fracz-\fract \right)\\[1em] \large f(x,t)&=&\large A \sin (kz-\omega t)\\[1em] \large f(x,t)&=&\large A \sin 2\pi f \left(\frac-t \right) \end

また、x軸の負方向に進行する正弦波の式は、以下のように符号を変えて記述されます。 \begin \large f(x,t)&=&\large A \sin \frac(x+vt)\\[0.7em] \large f(x,t)&=&\large A \sin \left(\fracz+\fract \right)\\[1em] \large f(x,t)&=&\large A \sin (kz+\omega t)\\[1em] \large f(x,t)&=&\large A \sin 2\pi f \left(\frac+t \right) \end

【3】正弦波の複素数表示

オイラーの公式より、以下の関係が成り立ちます。 $$\large = \cos \theta + i \sin \theta>$$

上式から、虚数\(\large\)、複素数の実部を表す \(\large\) を使用することで、正弦波を表記できます。

また、以下の式のように \(\large\) をつけずに、複素数のままで使用する場合もあります。このように波の式を扱う場合は、複素振幅という言い方をします。 $$\large$$